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Vidéo de question : Déterminer le complémentaire de l’intersection de deux événements Mathématiques

Soient deux événements 𝑥 et 𝑦 des probabilités 𝑃 (𝑥) = 0,49 et 𝑃 (𝑦) = 0,48. Sachant que 𝑃 (𝑥 ∪ 𝑦) = 0,95, calculez 𝑃 (𝑥 ∩ 𝑦)’.

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Transcription de vidéo

Soient deux événements 𝑥 et 𝑦 de probabilités 𝑃 de 𝑥 égal à 0,49 et 𝑃 de 𝑦 égal à 0,48. Sachant que 𝑃 de 𝑥 ∪ 𝑦 vaut 0,95, calculez la probabilité 𝑃 associée à l’évènement complémentaire de 𝑥 ∩ 𝑦.

On nous donne des informations sur deux événements 𝑥 et 𝑦. Nous savons que la probabilité que 𝑥 se produise est de 0,49 et que la probabilité que 𝑦 se produise est de 0,48. La probabilité de 𝑥 ∪ 𝑦 est de 0.95. Alors, si nous représentons cela sur un diagramme de Venn, 𝑥 ∪ 𝑦 correspond à la zone hachurée. Cela correspond à tout 𝑥, tout 𝑦 et leur intersection. Alors, nous cherchons à déterminer la probabilité de l’évènement complémentaire de 𝑥 ∩ 𝑦, c’est-à-dire la probabilité que 𝑥 ∩ 𝑦 ne se produise pas. Ainsi, logiquement, il faut commencer par déterminer la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦. Sur le diagramme de Venn, cela correspond à l’intersection entre les deux cercles.

Alors, la règle générale d’addition de probabilité pour l’union de deux événements dit que la probabilité de 𝑥 ∪ 𝑦 est égale à la probabilité de 𝑥 plus la probabilité de 𝑦 moins la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦. Cependant, il est important de noter qu’il s’agit de la probabilité de deux événements non exclusifs. Nous devons donc vérifier si les deux événements sont mutuellement exclusifs ou non. Alors, deux évènements sont mutuellement exclusifs si la somme des probabilités est égale à la probabilité de l’union de ces deux événements. Dans notre cas, 0,49 plus 0,48 n’est pas égal à 0,95. Nous pouvons donc utiliser la formule d’addition.

En remplaçant les valeurs, nous obtenons que 0,95 est égal à 0,49 plus 0,48 moins la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦. En simplifiant un peu à droite, nous avons 0,97 moins la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦. Nous allons soustraire 0,95 des deux côtés et ajouter la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦. Nous voyons que la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦 est égale à 0,97 moins 0,95, ce qui vaut 0,02. Nous avons donc déterminé la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦 ; elle vaut 0,02. La probabilité que les deux événements se produisent en même temps est de 0,02.

Alors, dans la question, on nous demande en fait de déterminer la probabilité associée au complémentaire de 𝑥 ∩ 𝑦, la probabilité que 𝑥 ∩ 𝑦 ne se produise pas. Bien, nous savons qu’il est possible de déterminer cette valeur en faisant un moins la probabilité de 𝑥 ∩ 𝑦. Cela nous donne 0,98. Nous avons donc répondu à la question. La probabilité associée à l’évènement complémentaire de 𝑥 ∩ 𝑦 est 0,98.

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