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Vidéo de question : Discuter de la monotonie d’une fonction polynomiale Mathématiques

Laquelle des affirmations suivantes est vraie pour la fonction 𝑓 (𝑥) = (−𝑥 - 6) ³ ? [A] 𝑓 croît sur ℝ. [B] 𝑓 décroît sur ℝ. [C] 𝑓 croît sur (−∞, −6) et décroît sur (−6, ∞). [D] 𝑓 croît sur (−6, ∞) et décroît sur (−∞, −6).

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Transcription de vidéo

Laquelle des affirmations suivantes est vraie pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins 𝑥 moins six, le tout au cube ? Est-ce l’option (A) 𝑓 croît sur l’ensemble des nombres réels ? L’option (B) 𝑓 décroît sur l’ensemble des nombres réels. L’option (C) 𝑓 croît sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins six et décroît sur l’intervalle ouvert de moins six à l’infini. Ou est-ce l’option (D) 𝑓 croît sur l’intervalle ouvert de moins six à l’infini et décroît sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins six ?

Dans cette question, on nous donne quatre affirmations concernant la monotonie d’une fonction 𝑓 donnée. On a 𝑓 de 𝑥 égale à moins 𝑥 moins six le tout élevé au cube. Nous devons déterminer laquelle de ces affirmations est vraie. Pour ce faire, on peut commencer par rappeler que pour une fonction 𝑓 dérivable, on peut déterminer les intervalles sur lesquels elle croît ou décroît en étudiant sa dérivée.

En particulier, nous rappelons que si 𝑓 est une fonction dérivable et si 𝑓 prime de 𝑥 est supérieur à zéro sur un intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏, alors nous pouvons conclure que 𝑓 croît sur l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏. De même, si 𝑓 prime de 𝑥 est inférieur à zéro sur un intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏, alors 𝑓 décroît sur l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏. Ceci est particulièrement utile car nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 est dérivable sur l’ensemble des nombres réels. C’est parce que nous prenons le cube d’une fonction linéaire. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 est donc un polynôme cubique. Nous pouvons ensuite utiliser ces résultats pour déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓 croît ou décroît. Nous avons simplement besoin de déterminer une expression pour 𝑓 prime de 𝑥.

Et il y a plusieurs façons de trouver 𝑓 prime de 𝑥. Par exemple, nous pourrions utiliser la formule du binôme de Newton pour développer notre expression entre parenthèses. Ou nous pourrions développer en utilisant la méthode FOIL. Dans les deux cas, nous nous retrouverions avec un polynôme cubique. Nous pourrions le dériver terme à terme en utilisant la règle de dérivation des puissances. Cependant, ce n’est pas l’unique façon de dériver cette fonction. Nous pouvons également remarquer que 𝑓 de 𝑥 est la composée de deux fonctions. Nous prenons une fonction linéaire, puis nous portons la valeur au cube. Et nous pouvons dériver la composée de deux fonctions en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées.

Et en particulier, comme notre fonction externe est une puissance, nous pouvons dériver ceci en utilisant la règle générale de dérivation des puissances, qui est une application du théorème de dérivation des fonctions composées. Elle nous indique que la dérivée de 𝑔 de 𝑥 élevé à la puissance 𝑛 est égale à 𝑛 fois 𝑔 prime de 𝑥 multiplié par 𝑔 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un, où notre valeur de 𝑛 est une constante réelle et 𝑔 de 𝑥 est une fonction dérivable. Nous allons utiliser cette méthode pour dériver la fonction. Cependant, choisir telle ou telle méthode relève d’une préférence personnelle.

Nous allons donc poser que notre valeur de 𝑛 est égale à trois et que notre fonction interne 𝑔 de 𝑥 est égale à moins 𝑥 moins six. Et il convient de noter que 𝑔 de 𝑥 est une fonction linéaire. Ainsi, 𝑔 prime de 𝑥 sera égal au coefficient de 𝑥, qui est égal à moins un. Nous pouvons maintenant évaluer 𝑓 prime de 𝑥 en remplaçant par ces valeurs dans le résultat donné par la règle générale de dérivation des puissances. On a 𝑓 prime de 𝑥 égale trois fois moins un, multiplié par moins 𝑥 moins six, élevé à la puissance trois moins un. Nous pouvons alors simplifier cette expression. On obtient 𝑓 prime de 𝑥 égale moins trois que multiplie moins 𝑥 moins six au carré.

Et maintenant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Moins 𝑥 moins six le tout au carré est un carré. Cela signifie que cette expression est supérieure ou égale à zéro pour toute valeur de 𝑥. En particulier, il n’y a qu’une seule valeur d’entrée de 𝑥 pour laquelle cette dérivée est égale à zéro. C’est lorsque que 𝑥 est égal à moins six. Nous multiplions ensuite ceci par une constante négative. Et rappelez-vous, une valeur négative multipliée par une valeur positive est une valeur négative. Par conséquent, nous avons montré que 𝑓 prime de 𝑥 est inférieur ou égal à zéro pour toutes les valeurs de 𝑥. Et en particulier, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro uniquement lorsque 𝑥 est égal à moins six.

Nous pouvons alors utiliser notre propriété. La dérivée de 𝑓 est négative pour toutes les valeurs de 𝑥 sauf lorsque 𝑥 est égal à moins six. Ceci nous indique donc que la fonction décroît sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins six et sur l’intervalle ouvert de moins six à l’infini. Cependant, puisque notre fonction est définie en moins six et que sa dérivée n’est nulle qu’en moins six, nous pouvons également dire qu’elle décroît en ce point. En d’autres termes, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 moins six au cube décroît sur l’ensemble des réels. Il s’agit donc de l’option (B).

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