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Vidéo de la leçon: Résoudre des équations cubiques : utiliser des racines cubiques Mathématiques • Deuxième préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations cubiques en utilisant la propriété de la racine cubique.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations cubiques en utilisant la propriété de la racine cubique. Nous commençons par rappeler que la racine cubique d’un nombre 𝑎 écrit comme indiqué est le nombre dont le cube est 𝑎. En d’autres termes, la racine cubique de 𝑎 au cube est égale à 𝑎. Nous pouvons l’utiliser pour simplifier ou trouver la valeur des expressions. Par exemple, nous savons que deux au cube est égal à huit, ce qui signifie que la racine cubique de huit est deux.

Ce n’est pas la seule utilisation de la racine cubique, car nous pouvons également utiliser cette méthode pour résoudre des équations. Par exemple, imaginons que le volume d’un cube est de 64 centimètres cubes. Nous pouvons alors dire que les arêtes du cube ont une longueur de 𝑥 centimètres, ce qui nous donne l’équation 𝑥 au cube égale 64. Appliquons la racine cubique aux deux membres de cette équation, nous savons que la racine cubique de 𝑥 au cube est 𝑥. Et la racine cubique de 64 est quatre. Nous pouvons donc conclure que le cube a des arêtes de quatre centimètres de longueur.

À ce stade, il convient de noter que l’équation 𝑥 au cube est égal à 𝑎 n’aura qu’une seule solution pour toute valeur réelle de 𝑎. Cela est dû au fait qu’élever un nombre positif au cube donne une réponse positive, et élever un nombre négatif au cube donne une réponse négative. Ceci est différent de résoudre l’équation 𝑥 au carré est égal à 𝑎 car cela a deux solutions lorsque 𝑎 est un nombre réel positif. Par exemple, lorsque 𝑥 au carré est égal à neuf, nous savons que 𝑥 est égal à trois ou moins trois, puisque trois au carré est égal à neuf et moins trois au carré est égal à neuf. Voyons maintenant un exemple où nous devons résoudre une équation cubique.

Résolvez l’équation cubique 𝑥 au cube est égal à huit pour tous les nombres rationnels.

Nous rappelons qu’un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous forme de quotient ou de fraction de deux entiers. Dans cette question, on doit résoudre l’équation 𝑥 au cube est égal à huit mais d’abord pour faire cela, nous appliquons la racine cubique aux deux membres de l’équation. Nous savons que la racine cubique de 𝑥 au cube est simplement égale à 𝑥. Et puisque deux au cube est égal à huit, la racine cubique de huit est égale à deux. La solution à l’équation cubique 𝑥 au cube est égale à huit est donc 𝑥 est égale à deux.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment résoudre une équation cubique où la variable au cube est égale à une fraction.

Résolvez 𝑥 au cube est égal à 27 sur huit.

Afin de résoudre cette équation, nous commencerons à prendre la racine cubique des deux membres de l’équation. Nous rappelons que la racine cubique de 𝑥 au cube est 𝑥. Donc 𝑥 est égal à la racine cubique de 27 sur huit. Ensuite, nous rappelons que la racine cubique de 𝑎 sur 𝑏, où 𝑏 est non nul, est égale à la racine cubique de 𝑎 sur la racine cubique de 𝑏. Nous savons que puisque deux au cube est égal à huit, la racine cubique de huit est deux. Et puisque trois au cube est 27, la racine cubique de 27 est trois. Puisque notre équation se simplifie à 𝑥 est égal à la racine cubique de 27 sur la racine cubique de huit, alors 𝑥 est égal à trois sur deux ou trois demis. C’est l’unique solution de l’équation 𝑥 au cube est égal à 27 sur huit.

Dans notre exemple suivant, nous allons résoudre une équation cubique en réarrangeant d’abord.

Étant donné que 𝑥 appartient à l’ensemble des nombres réels et que moins 𝑥 sur 10 est égal à 100 sur 𝑥 au carré, déterminez la valeur de 𝑥.

Afin de résoudre l’équation donnée, nous allons commencer par le produit en croix. C’est la même chose que multiplier les deux membres de l’équation par 10𝑥 au carré. Sur le membre gauche, nous avons moins 𝑥 multiplié par 𝑥 au carré. Et sur le membre droit, 100 multiplié par 10. Cela se simplifie à moins 𝑥 au cube est égal à 1000. Multiplions par moins un pour que notre terme contenant 𝑥 soit positif, nous avons 𝑥 au cube est égal à moins 1000. Nous pouvons alors appliquer la racine cubique aux deux membres de cette équation. La racine cubique de 𝑥 au cube est 𝑥. Et en notant que moins 10 au cube est égal à moins 1000, alors la racine cubique de moins 1000 est moins 10. Si moins 𝑥 sur 10 est égal à 100 sur 𝑥 au carré, alors la valeur de 𝑥 est égale à moins 10.

Nous pouvons vérifier cette réponse en substituant la valeur de 𝑥 dans l’équation initiale.

Jusqu’à présent, dans cette vidéo, nous ne traitons que des équations simples impliquant des cubes. Cependant, il est possible que les opérations aient lieu à l’intérieur de l’opération cubique. En général, nous pouvons résoudre les équations de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout au cube plus 𝑐 est égal à 𝑑 à condition que 𝑎 ne soit pas égal à zéro et nous pouvons déterminer la racine cubique de 𝑑 moins 𝑐. Nous résolvons ce type d’équation en utilisant les quatre étapes suivantes.

Tout d’abord, nous soustrayons 𝑐 des deux membres, cela nous donne 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout au cube est égal à 𝑑 moins 𝑐. Deuxièmement, nous appliquons la racine cubique aux deux membres de l’équation pour obtenir 𝑎𝑥 plus 𝑏 égale la racine cubique de 𝑑 moins 𝑐. Ensuite, nous soustrayons 𝑏 des deux membres de sorte que 𝑎𝑥 soit égal à la racine cubique de 𝑑 moins 𝑐 moins 𝑏. Et enfin, nous divisons par 𝑎 de sorte que 𝑥 soit égal à la racine cubique de 𝑑 moins 𝑐 moins 𝑏 le tout divisé par 𝑎. Voyons maintenant comment nous pouvons appliquer cela en pratique.

Déterminer la valeur de 𝑦 étant donné que deux 𝑦 moins 14 le tout au cube moins 36 est égal à 28.

L’équation dans cette question est écrite sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout au cube plus 𝑐 est égal à 𝑑. Nous savons que nous pouvons résoudre ce type d’équations en réarrangeant pour isoler 𝑥. Dans cette question, la variable est 𝑦. Nous allons donc suivre une méthode similaire afin d’isoler 𝑦. Nous commençons par ajouter 36 aux deux membres de notre équation. Cela nous donne deux 𝑦 moins 14 le tout au cube est égal à 28 plus 36. Le membre droit se simplifie à 64, et nous pouvons maintenant appliquer la racine cubique aux deux membres de cette équation. Sur le membre gauche, nous avons deux 𝑦 moins 14. Et puisque quatre au cube est égal à 64, la racine cubique de 64 est quatre. Notre équation se simplifie à deux 𝑦 moins 14 égale quatre.

Ensuite, nous ajoutons 14 aux deux membres. Deux 𝑦 est égal à quatre plus 14, ce qui est égal à 18. Enfin, nous pouvons diviser par deux tel que 𝑦 est égal à neuf. Si deux 𝑦 moins 14 au cube moins 36 est égal à 28, alors la valeur de 𝑦 est neuf. Nous pouvons vérifier cette réponse en substituant 𝑦 est égal à neuf dans notre équation initiale. Lorsque nous faisons cela, nous avons deux multiplié par neuf moins 14 entre parenthèses. Cela est équivalent à quatre, et quatre au cube moins 36 est en effet égal à 28. Cela confirme que la solution de l’équation est 𝑦 égale neuf.

Dans notre dernier exemple, nous allons résoudre un problème similaire. Cependant, cette fois, le coefficient de la variable est négatif.

Déterminez la valeur de 𝑥 étant donné que 15 moins trois 𝑥 le tout au cube plus deux est égal à 29.

Pour répondre à cette question, nous allons d’abord réarranger l’équation de sorte que le terme contenant un cube soit isolé sur le membre gauche. Nous faisons cela en soustrayant deux des deux membres, ce qui nous donne 15 moins trois 𝑥 le tout au cube est égal à 29 moins deux. 29 moins deux est égal à 27. Et nous pouvons maintenant appliquer les racines cubiques aux deux membres de l’équation. La racine cubique de 15 moins trois 𝑥 le tout au cube est simplement 15 moins trois 𝑥. Et puisque trois au cube est 27, la racine cubique de 27 est égale à trois. Notre équation se simplifie à 15 moins trois 𝑥 est égal à trois.

Afin de déterminer la valeur de 𝑥, nous pouvons maintenant soustraire 15 des deux membres de sorte que moins trois 𝑥 soit égal à trois moins 15. Cela se simplifie à son tour en moins trois 𝑥 est égal à moins 12. Et en divisant par trois, nous obtenons 𝑥 est égal à quatre. La valeur de 𝑥 qui vérifie l’équation 15 moins trois 𝑥 le tout au cube plus deux est égale à 29 est quatre.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en recapitulant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons résoudre des équations en appliquant les racines cubiques aux deux membres de l’équation. En particulier, si 𝑥 au cube est égal à 𝑎, alors 𝑥 est égal à la racine cubique de 𝑎. Nous avons également vu que, contrairement à la racine carrée, appliquer des racines cubiques aux deux membres d’une équation donne une solution unique. Enfin, pour résoudre une équation cubique de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout au cube plus 𝑐 est égal à 𝑑, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des constantes et 𝑎 est non nulle, nous réarrangeons l’équation pour isoler 𝑥. Cela nous donne 𝑥 est égal à la racine cubique de 𝑑 moins 𝑐 moins 𝑏 le tout divisé par 𝑎.

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