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Vidéo de question : Déterminer la somme d’un nombre infini de termes d’une suite géométrique étant donné son terme général Mathématiques

Déterminez la somme infinie des termes de la suite géométrique qui commence par T₁ et dont le terme de rang 𝑛 est T_(𝑛) = 3 × 14^(1 - 𝑛).

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Transcription de vidéo

Déterminez la somme infinie des termes de la suite géométrique qui commence par T un et dont le terme de rang 𝑛 est T n est égal à trois multiplié par 14 à la puissance un moins 𝑛.

Commençons par rappeler la formule de la somme des termes d’une suite géométrique infinie. Nous avons 𝑆 ∞ égal à T un sur un moins 𝑟, où T un est le premier terme de la suite et 𝑟 est la raison. Pour que cette formule soit valide, la valeur absolue de la raison 𝑟 doit être strictement inférieure à un car cela est nécessaire pour que la suite soit convergente. Pour répondre à cette question, nous devons déterminer les valeurs du premier terme et de la raison dans cette suite.

Maintenant, en général, le terme de rang 𝑛 ou le terme général d’une suite géométrique est donné par T 𝑛 est égal à T un multiplié par 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. Cela ressemble à la structure de la règle du terme de rang 𝑛 qui nous a été donnée. Nous pouvons donc nous attendre à ce que le premier terme de cette suite soit égal à trois. Cependant, si nous regardons attentivement l’exposant 𝑟, nous voyons que dans le terme général, l’exposant est 𝑛 moins un, alors que dans la formule que l’on nous a donnée, l’exposant est un moins 𝑛, ce qui est l’opposé de 𝑛 moins un.

Voyons si nous pouvons manipuler la base de cette expression exponentielle de sorte que l’exposant soit 𝑛 moins un. Essentiellement, nous voulons changer le signe de l’exposant, nous voulons donc le multiplier par moins un. Nous savons que, en général, les exposants négatifs définissent des inverses. 14 est égal à un sur 14, soit l’inverse de 14, à la puissance moins un.

Nous pourrions donc réécrire ce terme exponentiel comme un sur 14 à la puissance moins un à la puissance un moins 𝑛. Cela est utile car lorsque nous élevons une valeur à un exposant puis à un autre exposant, nous multiplions les exposants ensemble. 𝑥 à la puissance 𝑦 à la puissance 𝑧 est 𝑥 à la puissance 𝑦𝑧. Ainsi, un sur 14 à la puissance moins un à la puissance un moins 𝑛 est un sur 14 à la puissance moins un fois un moins 𝑛, qui est un sur 14 à la puissance 𝑛 moins un.

Le terme général de cette suite peut alors être écrit comme trois multiplié par un sur 14 à la puissance 𝑛 moins un. Nous avons maintenant exactement la même forme que le terme général. Nous voyons que le premier terme est égal à trois et la raison est égal à un sur 14. Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs de 𝑎 un et 𝑟 dans la formule de la somme infinie. Puisque la valeur de 𝑟 est un sur 14, sa valeur absolue est strictement inférieure à un. Ainsi, cette somme existe. Nous avons 𝑆 ∞ est égal à trois sur un moins un sur 14. Cela nous donne trois divisé par 13 sur 14. Ensuite, nous pouvons inverser cette fraction et multiplier. Nous avons donc trois multiplié par 14 sur 13, soit 42 sur 13.

Nous pouvons écrire cela sous forme de nombre fractionnaire ou nous pouvons le laisser comme une fraction impropre. Cela ne peut pas être simplifié car il n’y a pas de facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur, à part un. Nous avons alors constaté que la somme des termes de la suite géométrique infinie avec la règle du terme de rang 𝑛 donnée est 42 sur 13.

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