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Vidéo de question : Déterminer les valeurs maximales et minimales absolues d’une fonction polynomiale dans un intervalle donné Mathématiques

Déterminez les maxima et minima globaux de la fonction 𝑦 = 2𝑥³ + 𝑥² - 3𝑥 - 2, sur l’intervalle [−1, 1], au centième près.

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Transcription de vidéo

Déterminez les maxima et minima globaux de la fonction 𝑦 égale deux 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins deux, sur l’intervalle moins un, un, au centième près.

Nous voulons donc trouver les valeurs maximales et minimales de notre fonction. Ces valeurs peuvent être au début de l’intervalle, à la fin ou quelque part au milieu. Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser une méthode appelée méthode de l’intervalle fermé, qui implique de tester la fonction pour un maximum et un minimum aux points extrêmes et à tous les points critiques dans l’intervalle. Notre courbe va ressembler à quelque chose comme ça. Et nous pouvons voir qu’il y a potentiellement deux points critiques. Commençons avec la méthode de l’intervalle fermé.

Cette méthode va donc nous permettre de trouver les valeurs maximales et minimales absolues d’une fonction continue sur un intervalle fermé. La première étape consiste à trouver les points critiques et à calculer 𝑓 aux points critiques de l’intervalle. La deuxième étape consiste à calculer notre fonction aux points finaux. Enfin, la plus grande valeur obtenue est le maximum absolu. Et la plus petite valeur obtenue est le minimum absolu.

Commençons donc par la première étape, trouver les valeurs critiques et calculer 𝑓 en ces points. Rappelons que les points critiques sont les points où la pente est nulle. Et donc, nous trouvons les points critiques en dérivant la fonction et en posant la dérivée égale à zéro, puis en résolvant en fonction de 𝑥. Nous dérivons notre fonction en nous rappelant tout d’abord que la dérivée de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑛𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Et donc, d𝑦 sur d𝑥 est égal à six 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins trois. Et nous nous souvenons que la dérivée d’une constante est zéro. Donc, moins deux se dérive en zéro. Et comme nous l’avons dit, nous posons cela égal à zéro et résolvons pour 𝑥.

Nous ne pouvons pas résoudre ce problème en factorisant. Alors résolvons-le en complétant le carré. Nous rappelons que pour une équation du second degré sous la forme 𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, la formule pour compléter le carré est 𝑥 plus 𝑏 sur deux au carré moins 𝑏 sur deux au carré plus 𝑐. Et il est important de se rappeler que lorsque nous complétons le carré, nous voulons que le coefficient 𝑥 au carré soit égal à un. Donc, pour ce faire, nous devons diviser par six. Cela nous donne 𝑥 au carré plus deux sur six 𝑥 moins trois sur six est égal à zéro. Mais deux sur six est tout simplement un tiers, et trois sur six se simplifie en un demi. Nous avons donc que 𝑥 au carré plus un tiers de 𝑥 moins un demi est égal à zéro.

Et maintenant, nous pouvons appliquer la formule pour compléter le carré. Avec 𝑏 égal à un tiers et 𝑐 égal à moins un demi, nous appliquons la formule pour compléter le carré. Et rappelez-vous que lorsque vous divisez une fraction par un nombre, vous pouvez simplement multiplier le dénominateur de la fraction par le nombre. Donc, un tiers sur deux est un sixième. Maintenant, rappelez-vous que nous cherchons au final à obtenir 𝑥 seul. Ajoutons donc un demi et un sixième au carré des deux côtés. Cela nous donne que 𝑥 plus un sixième au carré est égal à un sixième au carré plus un demi. Et un sixième au carré c’est juste un sixième multiplié par un sixième. Et les règles de multiplication de fractions nous disent que cela donne un sur 36.

Regardons maintenant le côté droit en ajoutant ces deux fractions ensemble. Nous le ferons en utilisant le fait que un sur deux équivaut à 18 sur 36. Et puis un sur 36 plus 18 sur 36 est 19 sur 36. Rappelez-vous que nous résolvons toujours pour 𝑥. Donc, prenons la racine carrée des deux côtés. Et nous nous souvenons que notre solution peut être positive ou négative. Pour simplifier le côté droit, nous savons par des règles sur les quantités irrationnelles que la racine carrée de 19 sur 36 est la même que la racine carrée de 19 sur la racine carrée de 36. Et la racine carrée de 36 est six. Et enfin, pour isoler 𝑥, nous pouvons soustraire un sixième des deux côtés. Donc 𝑥 est égal à moins un sixième plus ou moins racine 19 sur six.

Voici donc nos deux solutions et nous pouvons écrire chacune d’elles en une seule fraction. La saisie dans une calculatrice, nous donne les valeurs de 𝑥, 0,56 et moins 0,89, arrondies à deux décimales. En revenant à la première étape de la méthode des intervalles fermés, nous pouvons voir que nous devons replacer ces valeurs de 𝑥 dans notre fonction d’origine. Nous devons faire attention ici à utiliser les valeurs exactes plutôt que les valeurs arrondies, juste pour éviter toute erreur d’arrondi. Commençons et calculons notre fonction en ces points. Parce que les deux valeurs que nous avons obtenues pour 𝑥 sont dans notre intervalle entre moins un et un. Je vais donc libérer de l’espace afin que nous puissions le faire.

Donc, si nous utilisons notre première valeur de 𝑥 ici dans notre fonction en utilisant une calculatrice, nous obtenons que 𝑦 est égal à moins 3,02 à deux décimales près. Et puis en utilisant l’autre valeur que nous avons trouvée pour 𝑥, en utilisant à nouveau la valeur exacte, nous trouvons que 𝑦 est égal à 0,05 à deux décimales près. Donc, la première étape est maintenant terminée.

Maintenant, la deuxième étape nous dit de calculer 𝑓 aux points extrêmes de l’intervalle. Nos points extrêmes de l’intervalle sont moins un et un. Lorsque nous remplaçons 𝑥 par moins un dans notre fonction, nous constatons que 𝑦 est égal à zéro. Et lorsque nous remplaçons 𝑥 par un dans notre fonction, nous constatons que 𝑦 est égal à moins deux. Voilà donc la deuxième étape terminée. Nous avons calculé notre fonction aux points extrêmes de l’intervalle.

Enfin, la dernière étape indique que la plus grande valeur obtenue est le maximum et la plus petite valeur est le minimum. Voyons donc les valeurs que nous avons obtenues. La plus grande de ces valeurs est 0,05. Et moins 3,02 est la plus petite valeur que nous ayons obtenue. Par conséquent, par la méthode des intervalles fermés, nous avons constaté que le maximum absolu de notre fonction est de 0,05. Et le minimum absolu est moins 3,02.

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