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Vidéo de question : Résoudre des limites en les transformant sous la forme de limite d’expressions d’exposant entier naturel Mathématiques

Déterminez lim_(𝑥 →+ ∞) (𝑥 + 4 / 𝑥 - 4) ^ (𝑥 - 3)).

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Transcription de vidéo

Déterminez la limite, lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini, de 𝑥 plus quatre le tout divisé par 𝑥 moins quatre le tout élevé à la puissance 𝑥 moins trois.

Dans cette question, on nous demande de calculer une limite. Et la première chose que nous devons faire chaque fois qu’on nous demande de calculer une limite, c’est d’essayer de le faire directement. Et il y a deux façons potentielles d’essayer de calculer cette limite. Notre limite est une limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Nous pourrions vérifier ce qui se passe à l’intérieur de nos parenthèses. Eh bien, au numérateur lorsque 𝑥 approche l’infini, notre numérateur n’est pas borné ; il croît vers l’infini. La même chose est vraie de notre dénominateur ; il augmente également à l’infini. Et en fait, il en va de même pour notre exposant. Car 𝑥 moins trois approche l’infini lorsque 𝑥 approche l’infini. Donc, cela nous donne l’infini sur l’infini le tout élevé à la puissance l’infini. Et c’est une forme indéterminée parce que, par exemple, l’infini sur l’infini est une forme indéterminée. Donc, cela ne nous aide pas à répondre à notre question.

Mais il y a une autre façon pour nous d’essayer de le faire directement. À l’intérieur de nos parenthèses, nous avons une fonction rationnelle. Et nous connaissons différentes façons de calculer la limite d’une fonction rationnelle lorsque 𝑥 approche l’infini. Par exemple, nous pourrions utiliser la division polynomiale ou examiner les coefficients des termes principaux et les puissances des termes principaux. Et en utilisant l’une ou l’autre de ces méthodes, il est possible de prouver que la limite de la fonction rationnelle à l’intérieur des parenthèses lorsque 𝑥 approche l’infini est égale à un. Cependant, notre exposant approche toujours l’infini lorsque 𝑥 approche l’infini. Donc, cela nous donne un à la puissance l’infini, qui est également une forme indéterminée.

Nous ne pouvons donc pas calculer directement cette limite. Nous allons devoir essayer d’utiliser une méthode différente. Et pour ce faire, commençons par diviser la fonction rationnelle à l’intérieur de nos parenthèses. Et en fait, nous connaissons différentes façons de le faire. Par exemple, nous pourrions le faire directement en utilisant la division polynomiale. Et cela fonctionnerait ; cependant, il existe une autre méthode que nous pourrions utiliser. Nous pouvons voir que le terme principal au numérateur et au dénominateur a un coefficient de un. Et ils sont tous les deux de même puissance. Cela signifie que notre dénominateur va entrer dans notre numérateur une fois.

Ensuite, nous savons que nous devons ajouter une constante divisée par notre dénominateur 𝑥 moins quatre. Et si nous résolvons ce problème, nous pouvons simplement montrer qu’il est égal à plus huit. L’une ou l’autre méthode nous donne la limite suivante : la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de un plus huit divisé par 𝑥 moins quatre, le tout élevé à la puissance 𝑥 moins trois. Et maintenant, nous pouvons voir que cette limite est très similaire à une limite que nous connaissons déjà. Cela ressemble beaucoup à notre limite impliquant le nombre d’Euler 𝑒. La limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini de un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance 𝑛 puissance est égale à 𝑒. Nous allons donc essayer d’utiliser ce résultat pour nous aider à calculer notre limite.

Avant de faire cela, il convient également de souligner que nous aurions pu utiliser notre autre limite connue impliquant le nombre d’Euler 𝑒. Habituellement, l’un des deux résultats nous rendra la tâche plus facile que l’autre. Cependant, il est très difficile de voir quelle limite connue nous devrions utiliser simplement en regardant la limite que nous devons calculer. Donc, si vous êtes bloqué en essayant d’utiliser l’un de ces résultats, essayez de passer à l’autre. Maintenant, pour utiliser ce résultat de limite, nous allons devoir réécrire notre limite. Nous voyons à l’intérieur de nos parenthèses que nous avons besoin de un plus un sur 𝑛.

Donc, pour écrire notre limite sous cette forme, nous allons utiliser la substitution. Nous allons définir un sur 𝑛 égal à huit divisé par 𝑥 moins quatre. Donc, en utilisant la substitution, nous pouvons réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance 𝑥 moins trois. Mais il est difficile d’évaluer directement cette limite car elle contient à la fois des 𝑥 et des 𝑛. Essayons donc de réécrire cette limite entièrement en fonction de 𝑛. Et pour ce faire, nous allons devoir trouver une expression pour 𝑥 en fonction de 𝑛. Et nous pouvons le faire en utilisant notre substitution. Nous allons vouloir réorganiser cette équation pour obtenir une expression de 𝑥 en fonction de 𝑛.

Pour ce faire, nous allons commencer par prendre l’inverse des deux côtés de l’équation. Cela nous donne 𝑛 est égal à 𝑥 moins quatre le tout divisé par huit. Ensuite, nous multiplierons les deux côtés de cette équation par huit. Cela nous donne huit 𝑛 est égal à 𝑥 moins quatre. Enfin, nous ajoutons simplement quatre des deux côtés de l’équation. Cela nous donne huit 𝑛 plus quatre est égal à 𝑥. Maintenant, nous allons substituer cette expression à 𝑥 dans notre limite. Ce faisant, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 approche l’infini de un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance huit 𝑛 plus quatre moins trois.

Et bien sûr, nous pouvons simplifier cela. Dans notre exposant, nous avons quatre moins trois, ce qui est bien sûr égal à un. Nous avons donc fini de réécrire notre limite sous la forme suivante. Cependant, nous devons encore voir ce qui arrive à nos valeurs de 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Et le moyen le plus simple de le faire est de regarder notre expression pour 𝑥 en fonction de 𝑛. À mesure que 𝑥 tend vers l’infini, le côté droit de cette équation grandit de manière illimitée. Cela signifie que le côté gauche de cette équation doit également croître de manière illimitée. Et la seule façon que cela puisse se produire c’est si nos valeurs de 𝑛 augmentent sans limite. En d’autres termes, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑛 doit se rapprocher de l’infini.

Par conséquent, en utilisant cela, nous pouvons réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑛 approche l’infini de un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance huit 𝑛 plus un. Et maintenant, nous pouvons voir que cette limite est presque exactement sous la forme de notre règle de limite connue. La seule différence est qu’au lieu d’être égal à 𝑛, notre exposant est huit 𝑛 plus un. Nous allons donc vouloir essayer de réécrire cette limite pour que l’exposant soit simplement 𝑛. Et nous le ferons en utilisant nos lois des exposants. Premièrement, nous pouvons voir que notre exposant est une somme. Nous allons donc réécrire ceci en utilisant le fait que 𝑎 à la puissance 𝑏 plus 𝑐 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑏 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑐.

Ainsi, en définissant notre valeur de 𝑎 égale à un plus un sur 𝑛, 𝑏 égale à huit 𝑛 et 𝑐 égale à un, nous pouvons réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑛 approche l’infini de un plus un sur 𝑛, le tout élevé à la puissance de huit 𝑛 multiplié par un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance un. Et bien sûr, élever quelque chose à la puissance un ne change pas sa valeur. Mais maintenant, nous pouvons voir que nous prenons la limite d’un produit. Nous pouvons donc essayer de calculer cette limite en utilisant la règle du produit pour les limites. La règle du produit pour les limites nous indique que la limite d’un produit est égale au produit des limites, à condition que la limite de nos deux facteurs existe.

Et en fait, lorsque nous répondrons à cette question, nous montrerons que ces deux limites existent directement. Commençons par la limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini de un plus un sur 𝑛. Nous pouvons calculer cette limite directement. Lorsque 𝑛 tend vers l’infini, un sur 𝑛 tend vers zéro, puisque son dénominateur croît sans limite et son numérateur reste constant. Donc, lorsque 𝑛 approche l’infini, ce facteur se rapproche de un. Par conséquent, en utilisant la règle du produit pour les limites, nous pouvons réécrire notre limite comme la limite, lorsque 𝑛 approche l’infini, de un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance huit 𝑛 à condition que cette limite existe.

Et maintenant, c’est presque exactement la forme de notre limite connue ; cependant, notre exposant est huit 𝑛 au lieu de 𝑛. Nous allons donc utiliser une autre de nos lois des exposants. Cette fois, nous allons utiliser le fait que 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 le tout élevé à la puissance 𝑏. Donc, en utilisant cela, nous avons pu réécrire notre limite en tant que limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini de un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance 𝑛, le tout élevé à la puissance huit. Mais maintenant, nous pouvons voir que nous calculons la limite d’une fonction élevée à la puissance huit. Nous pouvons donc essayer de calculer cette limite en utilisant la règle de puissance pour les limites.

Nous rappelons qu’une version de la règle de la puissance pour les limites nous indique que la limite lorsque 𝑥 approche l’infini de 𝑓 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑚 est égale à la limite lorsque 𝑥 approche l’infini de 𝑓 de 𝑥 le tout élevé à la puissance 𝑚. Et nous pouvons garantir que cela est vrai à condition que 𝑚 soit un entier et que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑓 de 𝑥 existe. Et dans ce cas, ces deux conditions sont vraies. Notre valeur de 𝑚 est huit, qui est un entier. Et la limite dont nous avons besoin qu’elle existe, est la limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini de un plus un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance 𝑛, ce qui est en fait le résultat de notre limite. Nous savons déjà que c’est égal à 𝑒.

Par conséquent, en utilisant la règle des puissances pour les limites, au lieu d’élever la fonction à l’intérieur de nos éléments à la puissance huit, nous pouvons plutôt simplement élever notre limite entière à la puissance huit. Et enfin, nous pouvons simplement calculer cette limite en utilisant notre règle des limites. Nous savons que c’est égal à 𝑒. Et puis nous devons élever cette expression entière à la puissance huit. Et cela nous donne notre réponse finale de 𝑒 à la puissance huit. Par conséquent, nous avons pu montrer la limite lorsque 𝑥 approche l’infini de 𝑥 plus quatre le tout divisé par 𝑥 moins quatre le tout élevé à la puissance 𝑥 moins trois est égale à 𝑒 à la puissance huit.

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