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Vidéo de question : Propriétés des vecteurs dans un parallélogramme Mathématiques

Complétez : Dans un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐀𝐁 + 𝐀𝐃 = _.

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Transcription de vidéo

Complétez : Dans un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, le vecteur 𝐀𝐁 plus le vecteur 𝐀𝐃 est égal à quoi.

Nous examinons ici certaines propriétés géométriques des vecteurs. Donc, pour comprendre ce qui se passe ici, commençons par dessiner un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. Voici notre parallélogramme. Nous sommes prêts à nommer les sommets. Définissons ce sommet, le coin inférieur gauche, comme étant le sommet 𝐴. Ensuite, puisque le parallélogramme est nommé 𝐴𝐵𝐶𝐷, l’un des sommets adjacents à 𝐴 doit être le sommet 𝐵. Choisissons celui-ci. Ensuite, le sommet restant adjacent à 𝐵 est le sommet 𝐶, ce qui signifie que le sommet final est le sommet 𝐷. Il convient de noter bien sûr que nous aurions pu aller dans la direction opposée. Il est juste important que nous suivions l’ordre dans lequel les lettres sont données : 𝐴, 𝐵, 𝐶, puis 𝐷.

Identifions maintenant les vecteurs pertinents. Le premier vecteur est le vecteur 𝐀𝐁. C’est le vecteur qui décrit le mouvement qui nous emmène du point 𝐴 au point 𝐵 le long d’une droite. Et nous pouvons donc le désigner en utilisant la flèche jaune. C’est le vecteur 𝐀𝐁. Ensuite, nous nous intéressons au vecteur 𝐀𝐃. C’est le vecteur qui nous emmène directement du point 𝐴 au point 𝐷 le long de la droite. Nous désignons donc ce vecteur en utilisant la flèche rose comme indiqué. Ensuite, si nous trouvons la somme de deux vecteurs, nous appelons cela leur résultante. Et si nous considérons chaque vecteur comme un voyage, la résultante est essentiellement le voyage final que nous finissons par faire.

Donc, dans ce cas, nous passons du point 𝐴 au point 𝐵 puis du point 𝐴 au point 𝐷. Mais en termes de voyages, cela n’a pas beaucoup de sens. Nous pouvons donc utiliser certaines des propriétés des parallélogrammes pour nous aider à comprendre ce qui se passe. Nous savons que les côtés opposés d’un parallélogramme sont de longueur égale et parallèles. Et bien sûr, nous savons que les vecteurs sont définis par leurs normes et leurs directions, et non par leurs positions. Cela signifie que si nous pouvons décrire le voyage de 𝐴 à 𝐷 en utilisant le vecteur 𝐀𝐃, alors nous pouvons décrire le voyage de 𝐵 à 𝐶 en utilisant ce même vecteur.

Et maintenant, nous pouvons penser que notre résultante nous emmène du point 𝐴 au point 𝐵 puis du point 𝐵 au point 𝐶. Ainsi, le trajet complet trouvé en ajoutant 𝐀𝐁 à 𝐀𝐃 nous emmène en fait du point 𝐴 au point 𝐶. Nous pouvons donc décrire la résultante de 𝐀𝐁 et 𝐀𝐃 en utilisant le seul vecteur 𝐀𝐂. Ainsi, dans le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐀𝐁 plus 𝐀𝐃 est égal au vecteur 𝐀𝐂.

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