Vidéo question :: Détermination du taux de variation du rayon d’un cylindre en expansion compte tenu du taux de variation de son aire à l’aide de taux connexes Mathématiques

Transcription de la vidéo

La hauteur d’un cylindre a même longueur que son diamètre de base. Le cylindre s’étend de sorte que le taux de variation de son aire est 32 pi centimètres carrés par seconde. Calculez le taux de variation de son rayon lorsque sa base a un rayon de 18 centimètres.

La première chose que nous devons faire lorsque nous traitons des questions de taux connexes est d’identifier ce qui nous a été donné et ce que nous cherchons à trouver. Dans cette question, on nous a donné un cylindre dont la hauteur est égale à son diamètre de base. Avec 𝑟 égal au rayon de la section droite de ce cylindre, on trouve que son diamètre de base et sa hauteur sont tous deux égaux à deux 𝑟. On nous dit également que le taux d’augmentation de sa surface est de 32 pi centimètres carrés par seconde. Nous savons que le taux de variation d’une quantité est considéré comme sa dérivée.

Donc, si 𝑠 est égal à l’aire, alors nous savons que d𝑠 sur d𝑡 est égal à 32 pi. Nous voulons trouver le taux d’augmentation de son rayon. Donc, nous cherchons à trouver d𝑟 sur d𝑡. Alors, comment pouvons-nous lier d𝑠 sur d𝑡 avec d𝑟 sur d𝑡 ? Eh bien, nous allons utiliser la règle de dérivation en chaîne. Nous pouvons voir que d𝑠 sur d𝑡 sera égal à d𝑠 sur d𝑟 fois d𝑟 sur d𝑡. En divisant par d𝑠 sur d𝑟, nous trouvons que d𝑟 sur d𝑡 sera calculé en divisant d𝑠 sur d𝑡 par d𝑠 sur d𝑟. Nous connaissons d𝑠 sur d𝑡, mais comment allons-nous calculer d𝑠 sur d𝑟 ?

Eh bien, rappelons la formule de l’aire d’un cylindre. C’est l’aire des deux cercles, c’est deux fois pi fois 𝑟 au carré, plus l’aire du rectangle entre les deux, qui est deux fois pi fois 𝑟 fois ℎ. Nous avons déjà dit, cependant, que la hauteur de notre cylindre est de deux 𝑟, remplaçons donc ℎ par deux 𝑟 dans notre formule. En simplifiant, nous constatons que l’aire de notre cylindre est de six pi fois 𝑟 au carré. Et nous voyons que nous pouvons trouver une expression pour d𝑠 sur d𝑟 en dérivant cette expression par rapport à 𝑟. La dérivée première de six pi fois 𝑟 au carré est deux fois six fois pi fois 𝑟, ce qui donne 12 pi fois 𝑟.

Nous cherchons à trouver le taux d’augmentation lorsque le rayon est de 18 centimètres, nous allons donc calculer d𝑠 sur d𝑟 lorsque 𝑟 est égal à 18. C’est 12 pi fois 18, ce qui fait 216 pi. Donc, nous avons maintenant d𝑠 sur d𝑡 et d𝑠 sur d𝑟. Nous avons dit que d𝑟 sur d𝑡 était le quotient des deux ; c’est donc 32 pi sur 216 pi. Ce qui se simplifie en quatre vingt-septièmes. Le taux d’augmentation du rayon de notre cylindre lorsque sa base a un rayon de 18 centimètres est de quatre vingt-septièmes centimètres par seconde.