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Vidéo de question : Déterminer le module des nombres complexes sous forme algébrique Mathématiques

Quel est le module du nombre complexe 3 – 𝑖 ?

04:20

Transcription de vidéo

Quel est le module du nombre complexe trois moins 𝑖 ?

Dans cette question, on nous demande de trouver le module du nombre complexe trois moins 𝑖. Et pour ce faire, nous allons d’abord rappeler exactement ce que nous entendons par le module d’un nombre complexe. Nous rappelons que si 𝑧 est un nombre complexe, alors le module de 𝑧 est la distance de 𝑧 par rapport à l’origine dans un diagramme d’Argand. Par conséquent, une façon de trouver le module du nombre complexe trois moins 𝑖 consiste à le tracer sur un diagramme d’Argand, puis à trouver sa distance par rapport à l’origine. Alors utilisons cette méthode maintenant. Rappelez-vous, dans un diagramme d’Argand, l’axe horizontale représente la partie réelle de notre nombre et l’axe verticale représente la partie imaginaire de notre nombre. Et nous voulons tracer trois moins 𝑖 sur ce diagramme.

Tout d’abord, nous pouvons voir que la partie réelle de ce nombre complexe est égale à trois. Par conséquent, sa coordonnée horizontale va être égale à trois. Ensuite, nous pouvons voir que nous soustrayons 𝑖, donc le coefficient de 𝑖 est égal à moins un. Par conséquent, la partie imaginaire de ce nombre complexe est égale à moins un, donc sa coordonnée verticale sera moins un. Par conséquent, sur notre diagramme d’Argand, le nombre complexe trois moins 𝑖 aura pour coordonnées trois, moins un. Maintenant, rappelez-vous, nous devons trouver le module de ce nombre complexe. C’est sa distance par rapport à l’origine. Et la façon la plus simple de le faire est de former un triangle rectangle.

Nous pouvons voir que sa distance par rapport l’origine est l’hypoténuse du triangle rectangle. Et nous savons que les deux longueurs les plus courtes de notre triangle rectangle sont un et trois, nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le module de trois moins 𝑖. Il est égal à la racine carrée de trois au carré plus un au carré, et trois au carré plus un au carré est égal à 10. Par conséquent, nous avons montré que le module de trois moins 𝑖 est égal à la racine carrée de 10. Cependant, ce n’est pas la seule façon pour calculer le module de ce nombre. Si nous devions tracer le nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 sur notre diagramme d’Argand, alors nous savons que la partie réelle de ce nombre complexe est égale à 𝑎 et la partie imaginaire de ce nombre complexe est égale à 𝑏. Nous pouvons donc le représenter sur notre diagramme d’Argand avec les coordonnées horizontales 𝑎 et les coordonnées verticales 𝑏.

Et puis nous pouvons encore une fois poser la question, quel est le module de 𝑎 plus 𝑏𝑖 ? Le module de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est sa distance par rapport à l’origine, et encore une fois, nous pouvons voir que c’est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Et nous connaissons les deux longueurs les plus courtes de ce triangle rectangle. Ce sera la valeur absolue de 𝑎 et la valeur absolue de 𝑏. Par conséquent, nous pouvons calculer le module de 𝑎 plus 𝑏𝑖 en utilisant la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Parce que nous élevons 𝑎 et 𝑏 au carré, les signes de 𝑎 et 𝑏 n’ont pas d’importance. Et cela nous donne une méthode rapide et facile pour trouver le module d’un nombre complexe donné sous forme algébrique. Et rappelez-vous, nous disons qu’un nombre complexe est donné sous forme algébrique s’il est sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels.

Nous aurions donc pu utiliser cette formule pour trouver le module de trois moins 𝑖. En utilisant notre formule sur trois moins 𝑖, nous avons notre valeur de 𝑎, la partie réelle de trois moins 𝑖, qui est trois et la valeur de 𝑏, la partie imaginaire de trois moins 𝑖, qui est moins un. Par conséquent, le module de trois moins 𝑖 va être égal à la racine carrée de trois au carré plus moins un au carré, que nous pouvons calculer est aussi égal à la racine carrée de 10. Par conséquent, nous avons pu montrer deux méthodes différentes de calcul du module du nombre complexe trois moins 𝑖. Dans les deux cas, nous avons vu que ce module était égal à la racine carrée de 10.

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