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Vidéo de la leçon : Représentation des relations Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment représenter une relation avec un diagramme sagittal ou avec un graphique, connaissant l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une relation donnée.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter une relation à l’aide d’un diagramme sagittal ou d’un graphique, en connaissant l’ensemble définition et l’ensemble image d’une relation donnée. Nous commencerons par définir ce que nous entendons par une relation en mathématiques.

Une relation est une relation entre un ensemble de valeurs. Cette relation est entre les valeurs 𝑥 et les valeurs 𝑦 d’un couple. L’ensemble des valeurs de 𝑥 est appelé ensemble de définition ou entrée, et l’ensemble des valeurs de 𝑦 est appelé ensemble image ou sortie. Les relations peuvent être affichées sous la forme d’un tableau, d’un diagramme sagittal ou d’un graphique. Nous examinerons ces trois types de relations dans cette vidéo. Une relation produit un ou plusieurs nombres de sorties pour chaque nombre d’entrée valide. Nos réponses s’écrivent comme le couple ou les coordonnées 𝑥, 𝑦. Nous allons maintenant voir une série de questions sur les relations dans différents contextes.

Au basket-ball, chaque tir effectué en dehors de la ligne des trois points marque trois points. Le tableau montre cette relation. Inscrivez ces informations sous forme de couples : tirs à trois points effectués, nombre total de points.

Un couple est écrit sous la forme 𝑥 virgule 𝑦. Dans cette question, le nombre de tirs à trois points effectués est notre valeur 𝑥 et le nombre total de points est notre valeur 𝑦. Nous devons examiner chaque colonne du tableau une à la fois.

Lorsqu’aucun tir à trois points n’a été effectué, il n’y a pas eu de total de points. Par conséquent, notre premier couple est zéro ; zéro. Un tir à trois points a rapporté trois points. Ainsi, notre deuxième couple est un ; trois. Il y a eu un total de six points pour deux tirs à trois points, ce qui nous donne un couple de deux ; six. La dernière colonne du tableau nous donne le couple trois, neuf. Les quatre couples du tableau sont : zéro ; zéro, un ; trois, deux ; six et trois ; neuf.

Dans cette question, nous pourrions écrire la sortie 𝑦 comme une fonction en termes d’entrée 𝑥. Comme chaque tir marque trois points, le total des points 𝑦 est égal à trois fois 𝑥 ou trois 𝑥. S’il est vrai que toutes les fonctions sont des relations, alors toutes les relations ne sont pas des fonctions.

Notre question suivante implique un diagramme sagittal ou un diagramme en flèche.

Écrivez la relation 𝑅 pour le diagramme sagittal suivant.

Chaque paire de valeurs dans une relation peut être écrite comme un couple 𝑥, 𝑦. La valeur 𝑥 est connue par ensemble de définition ou entrée. Les valeurs 𝑦 sont l’ensemble image ou la sortie. On peut voir sur le diagramme sagittal que l’entrée de six donne une sortie de huit. Ainsi, notre premier couple est six, huit. L’entrée de 10 donne une sortie de 12. Il s’agit donc de notre deuxième couple : 10 ; 12.

Le troisième et dernier couple est 11 ; 13. Nous rappelons qu’une relation produit une ou plusieurs valeurs de sortie pour chaque valeur d’entrée. Lorsque l’on considère le diagramme sagittal, chaque valeur de l’ensemble de définition doit avoir une valeur correspondante dans l’ensemble image. Nous ne pouvons pas avoir de nombres qui ne correspondent pas dans l’ensemble de définition. Cependant, c’est possible dans l’ensemble image. Dans ce cas, 28 ne correspond à aucune des valeurs d’entrée.

La relation 𝑅 peut donc être écrite sous la forme d’un ensemble avec des accolades. 𝑅 égale les couples six ; huit, 10 ; 12 et 11 ; 13. Bien que cette question ne nous soit pas posée, on peut remarquer que cette relation est également une fonction. Chacune des valeurs de sortie 𝑦 est supérieure de deux aux valeurs d’entrée 𝑥. Cela signifie que la règle générale pour cette fonction est que 𝑦 égale 𝑥 plus deux. La valeur de sortie sera toujours supérieure de deux à la valeur d’entrée.

Notre question suivante implique un diagramme sagittal plus compliqué.

Lequel des ensembles suivants exprime correctement la relation 𝑅 illustrée sur la figure ci-dessous ?

Toute relation est un ensemble de couples de la forme 𝑥, 𝑦. L’ensemble des valeurs de 𝑥 est appelé ensemble de définition ou d’entrée, et les valeurs de 𝑦 sont l’ensemble image ou la sortie. Dans un diagramme sagittal comme celui-ci, les valeurs de 𝑥 seront là où les flèches commencent et les valeurs de 𝑦 seront là où les flèches finissent. Nous pourrions aller directement à notre diagramme et dresser la liste des couples corrects. Alternativement, nous pourrions examiner les cinq options et en éliminer certaines immédiatement.

L’option (A) 𝑅 égale l’ensemble de moins 18 ; moins 9 ; zéro ; 9 et 18. Il ne s’agit que d’un ensemble de valeurs et non d’un ensemble de couples. Ainsi, l’option (A) ne peut pas être correcte. L’option (B) 𝑅 égale 18 ; moins 18 et 9 ; moins 9. Comme il y a cinq flèches sur la figure, nous savons qu’il doit y avoir cinq couples. Cela signifie que l’option (B) ne peut pas être correcte. L’option (C) comporte quatre couples : moins 18 ; 18, moins 9 ; 9, 9 ; moins 9 et 18 ; moins 18. Cela signifie que cette option est aussi fausse.

Les options (D) et (E) contiennent toutes deux cinq couples. Cependant, l’option (E) contient des valeurs fractionnaires : moins un dix-huitième, moins un neuvième, un neuvième et un dix-huitième. Comme ces valeurs n’apparaissent pas sur la figure, cette réponse est également incorrecte. Par élimination, nous avons constaté que l’option (D) doit être la bonne réponse : moins 18 ; 18, moins neuf ; neuf, zéro ; zéro, neuf ; moins neuf et 18 moins 18. Nous allons maintenant vérifier que ce sont bien les cinq couples sur la figure. La flèche qui commence le plus à gauche commence à moins 18 et se termine à 18. Cela signifie qu’elle a une entrée de moins 18 et une sortie de 18 et qu’elle est donc le couple moins 18 ; 18.

La deuxième flèche va de moins 9 à 9. Il s’agit donc d’un autre couple. La troisième flèche commence à zéro mais fait une boucle et revient à zéro. Cela correspond au couple zéro ; zéro. Notre flèche suivante a une entrée de neuf et une sortie de moins neuf. Il s’agit du couple neuf ; moins neuf. Enfin, nous avons une flèche qui commence à 18 et se termine à moins 18. Les cinq couples sont les suivantes 18 ; moins 18, 9 ; moins 9, 0 ; 0, 9 ; moins 9 et 18, moins 18. Cela confirme que l’option (D) est correcte.

Nous pourrions remarquer ici un modèle entre nos valeurs d’entrée et de sortie. Si nous multiplions ou divisons chacune des valeurs d’entrée par moins un, nous obtenons les valeurs de sortie. Cela signifie que cette relation correspond à la fonction 𝑦 égale moins 𝑥.

Notre prochaine question consiste à identifier une relation à partir d’un repère cartésien.

Écrivez la relation 𝑅 pour le diagramme suivant.

Toute relation 𝑅 doit être écrite sous la forme d’un ensemble de couples de la forme 𝑥, 𝑦. Dans la relation, les valeurs de 𝑥 correspondent à l’ensemble de définition ou à l’entrée, et les valeurs de 𝑦 sont l’ensemble image ou la sortie. Dans cette question, cinq points sont marqués sur le diagramme. Nous avons donc besoin de cinq couples. Elles peuvent être écrites dans n’importe quel ordre, mais nous commencerons avec le plus à gauche, la valeur de 𝑥 la plus basse. Le premier couple est donc moins quatre ; un. Nous suivons l’axe 𝑥 jusqu’à moins quatre, puis nous remontons l’axe 𝑦 jusqu’à un.

Notre deuxième point a comme coordonnées moins un ; deux. La paire suivante est zéro ; un. Tout point qui se trouve sur l’axe 𝑦 aura une coordonnée 𝑥 de zéro. Notre quatrième point a comme coordonnées deux ; trois. Le cinquième et dernier couple est trois ; un. Nous pouvons donc conclure que la relation 𝑅 est l’ensemble des valeurs moins quatre ; un, moins un ; deux , zéro ; un, deux ; trois et trois ; un.

Nos deux dernières questions consistent à faire correspondre les équations à la relation donnée.

Sachant que 𝑅 est une relation de 𝑥 vers 𝑦, où 𝑎 existe dans 𝑥 et 𝑏 existe dans 𝑦, laquelle des équations suivantes exprime correctement la relation 𝑅 ? Est-ce (A) 𝑏 égale 𝑎 plus un, (B) 𝑏 égale deux 𝑎 plus deux, (C) 𝑏 égale deux 𝑎 moins deux, (D) 𝑎 égale deux 𝑏 plus deux, ou (E) 𝑎 égale deux 𝑏 moins deux ?

Toute relation 𝑅 contient un ensemble de couples de la forme 𝑥, 𝑦. Sur le diagramme, nous avons trois couples : moins un ; zéro, quatre ; 10 et cinq ; 12. Nous pouvons donc dire que la relation 𝑅 est l’ensemble de ces trois couples. On nous demande de trouver l’équation correcte qui fait correspondre une valeur de 𝑥 𝑎 à une valeur de 𝑦 𝑏. La façon la plus simple de faire cela est de substituer avec nos valeurs dans chacune des équations. Commençons par le couple moins un ; zéro.

Nous allons définir 𝑎 égale moins un et 𝑏 égale zéro. Zéro égale moins un plus un. Cela signifie que l’équation (A) fonctionne pour le premier couple. De même, deux fois moins un plus deux est aussi égal à zéro. Cela signifie que l’équation (B) fonctionne également pour le premier couple. Dans l’option (C), deux fois moins un moins deux est égal à moins quatre et non pas à zéro. Cela signifie que l’équation (C) n’est pas la bonne réponse. De même pour les options (D) et (E), car moins un n’est pas égal à deux fois zéro plus deux ou deux fois zéro moins deux. Nous pouvons donc exclure ces deux options.

Nous allons maintenant considérer le deuxième couple quatre ; 10 pour l’équation (A) et l’équation (B). Cette fois, 𝑎 est égal à quatre et 𝑏 est égal à 10. 10 n’égale pas quatre plus un. Cela signifie que l’équation (A) est aussi incorrecte. 10 est égal à deux fois quatre plus deux. Cela signifie que l’équation (B) est valable pour le premier et le deuxième couple. Nous pouvons maintenant passer au troisième couple, cinq ; 12. Deux fois cinq plus deux est égal à 12. Comme l’équation (B) est valable pour les trois couples, il s’agit de la bonne réponse. L’équation qui exprime correctement la relation 𝑅 est 𝑏 égale deux 𝑎 plus deux.

Sachant que 𝑥 est l’ensemble des nombres 20 ; un et trois et que 𝑅 est une relation sur 𝑥, où 𝑎𝑅𝑏 signifie que 𝑎 plus deux 𝑏 égale un nombre pair pour chaque 𝑎 qui existe dans 𝑥 et 𝑏 qui existe dans 𝑥, déterminez la relation 𝑅.

On nous dit dans la question que l’ensemble 𝑥 contient trois nombres : 20 ; un et trois. Nos valeurs de 𝑎 et 𝑏 appartiennent à l’ensemble 𝑥. Elles doivent donc être chacune un de ces trois nombres. On nous dit aussi que 𝑅 est une relation sur 𝑥. Toute relation est un ensemble de couples 𝑥, 𝑦. Chacun de nos couples doit satisfaire au fait que 𝑎 plus deux 𝑏 est un nombre pair, où 𝑎 est notre valeur de 𝑥 et 𝑏 est notre valeur de 𝑦. Nous pourrions écrire les neuf couples possibles comme indiqué : un ; un, un ; trois, un ; 20, trois ; un, et ainsi de suite. Nous pourrions ensuite substituer chacun de ces couples dans l’expression 𝑎 plus deux 𝑏 pour identifier les pairs et les impairs.

Cela pourrait prendre beaucoup de temps, c’est pourquoi nous chercherons une méthode plus rapide basée sur l’équation de cette question. La multiplication de tout entier par deux donne un nombre pair. Cela signifie que deux 𝑏 sera toujours un nombre pair. Nous rappelons que l’addition d’un nombre pair et d’un autre nombre pair donne une réponse paire, alors que l’addition d’un nombre impair et d’un nombre pair donne une réponse impaire. Pour que 𝑎 plus deux 𝑏 soit pair, alors 𝑎 doit être pair. La seule des trois valeurs de l’ensemble 𝑥 qui est paire est 20. Cela signifie que 𝑎 doit être égal à 20. En revanche, 𝑏 pourrait prendre n’importe laquelle des trois valeurs, car la multiplication de l’une d’entre elles par deux donnerait une réponse paire. La relation 𝑅 est donc l’ensemble de trois couples : 20 ; un, 20 ; trois et 20 ; 20.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu des questions dans cette vidéo où une relation était représentée sous forme de tableau ou de diagramme sagittal. Dans chaque cas, notre relation a été écrite sous forme d’un ensemble de couples. C’est ce que montre la vidéo. L’ensemble des valeurs 𝑥 dans les couples est l’ensemble de définition, et l’ensemble des valeurs 𝑦 est l’image. Une relation peut souvent être écrite sous la forme d’une fonction qui relie nos valeurs d’entrée 𝑥 à nos valeurs de sortie 𝑦.

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