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Vidéo de la leçon : Le principe du travail et de l’énergie Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le principe du travail et de l’énergie pour résoudre des problèmes de mouvement d’une particule.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le principe du travail et de l’énergie pour résoudre des problèmes de mouvement d’une particule. Tout d’abord, nous devons commencer par définir le principe du travail et de l’énergie.

Le principe du travail et de l’énergie stipule que la variation de l’énergie cinétique d’un objet est égale au travail effectué sur l’objet. Sous forme d’équation, on peut dire que 𝑊, le travail, est égal à ΔKE, qui représente la variation d’énergie cinétique. Rappelons que l’énergie cinétique est égale à un demi 𝑚𝑣 carré, où 𝑚 est la masse et 𝑣 est la vitesse de l’objet, nous pouvons développer la variation de l’énergie cinétique en un demi 𝑚𝑣 final moins un demi 𝑚𝑣 initial au carré. Et en rappelant que le travail est égal à 𝐹𝑑, où 𝐹 est la force parallèle au déplacement et 𝑑 est le déplacement, nous obtenons une équation développée pour notre principe du travail et de l’énergie.

Nous voilà prêt pour trouver le travail ou le changement d’énergie cinétique. Nous pouvons également trouver la force, le déplacement, la masse et les vitesses initiale et finale. Ce principe pourrait être appliqué à des problèmes pour trouver le mouvement d’une particule, tels que les problèmes où une boîte s’arrête sur une surface rugueuse. Appliquons le principe du travail et de l’énergie à quelques exemples, en commençant par trouver l’énergie cinétique d’un objet projeté vers le bas lorsqu’il est sur le point de toucher le sol.

Un objet d’une masse de 400 grammes a été projeté à quatre mètres par seconde verticalement vers le bas à partir d’un point situé à cinq mètres du sol. Utilisez le principe du travail et de l’énergie pour calculer l’énergie cinétique de l’objet au moment où il est sur le point de toucher le sol. Prendre 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous pouvons dessiner un schéma avec les informations étiquetées du problème concernant notre objet. Il a une masse de 400 grammes. Il est projeté verticalement vers le bas à une vitesse de quatre mètres par seconde à une hauteur de cinq mètres. Et nous cherchons l’énergie cinétique lorsque l’objet est sur le point de toucher le sol. Nous sommes invités à utiliser le principe du travail et de l’énergie. Sous forme d’équation, cela signifie que le travail effectué sur un objet est égal à la variation de l’énergie cinétique de l’objet. Le travail effectué sur un objet est égal à la force résultante exercée sur l’objet multipliée par le déplacement. On peut donc remplacer 𝑊 par 𝐹 fois 𝑑. La variation de l’énergie cinétique est égale à l’énergie cinétique finale moins l’énergie cinétique initiale. Rappelons que l’énergie cinétique d’un objet est égale à la moitié de 𝑚𝑣 au carré, où 𝑚 est la masse de l’objet mesurée en kilogrammes et 𝑣 est la vitesse de l’objet mesurée en mètres par seconde.

Lorsque nous cherchons l’énergie cinétique finale, nous n’avons pas besoin de changer cette variable. Cependant, le problème ne nous a pas donné l’énergie cinétique initiale, nous devons donc remplacer cette variable par une forme égale, et c’est un demi de 𝑚𝑣 initial au carré. La force résultante 𝐹 agissant sur l’objet est la force due à la gravitation lorsqu’elle attire l’objet vers le sol. Nous devons nous rappeler que la force due à la gravitation est la masse de l’objet mesurée en kilogrammes fois l’accélération due à la gravitation, 9,8 mètres par seconde au carré dans le problème. Nous pouvons continuer et remplacer la force résultante dans notre équation par 𝑚𝑔. Si nous ajoutons l’énergie cinétique initiale, un demi de 𝑚𝑣 initial au carré, des deux côtés, nous avons maintenant une expression pour l’énergie cinétique finale. L’énergie cinétique finale de l’objet est égale à 𝑚𝑔𝑑 plus un demi de 𝑚𝑣 initial au carré.

Avant d’utiliser les valeurs de notre problème, nous devons d’abord nous assurer qu’elles sont toutes dans les bonnes unités. En regardant nos valeurs, la seule variable qui doit être convertie est la masse, de grammes en kilogrammes. Un kilogramme est égal à 1000 grammes. Lorsque nous divisons 400 grammes par 1000, nous nous retrouvons avec une masse pour notre objet de 0,400 kilogrammes. Nous remplaçons la masse de l’objet par 0,400, 𝑔 par 9,8, 𝑑 par cinq, et la vitesse initiale par quatre. Lorsque nous multiplions notre premier terme, nous obtenons 19,6. Et lorsque nous multiplions notre deuxième terme, nous obtenons 3,2. En ajoutant ces deux termes ensemble, nous obtenons une énergie cinétique finale de 22,8 joules, le joule étant l’unité standard de l’énergie et elle est représentée par un J majuscule. En utilisant le principe du travail et de l’énergie, l’énergie cinétique finale de l’objet au moment où il va toucher le sol est de 22,8 joules.

Notre prochain exemple de problème utilisera le principe du travail et de l’énergie pour trouver l’intensité d’une force.

Un objet de masse de 96 kilogrammes se déplace en ligne droite à 17 mètres par seconde. Une force commence à agir sur lui dans le sens opposé à son mouvement. De ce fait, sur les 96 mètres suivants, sa vitesse diminue jusqu’à 11 mètres par seconde. En utilisant le principe du travail et de l’énergie, déterminez l’intensité de la force.

Dans le problème, on nous demande d’utiliser le principe du travail et de l’énergie. Sous forme d’équation, cela indique que le travail sur un objet est égal à la variation de l’énergie cinétique de l’objet. En rappelant que le travail est défini comme la force multipliée par le déplacement, où la force est parallèle au déplacement, nous pouvons développer notre formule en remplaçant 𝑊 par 𝐹 fois 𝑑. La variation de l’énergie cinétique est l’énergie cinétique finale moins l’énergie cinétique initiale. Nous devons nous rappeler que l’énergie cinétique d’un objet est égale à la moitié de 𝑚𝑣 au carré, où 𝑚 est la masse de l’objet et 𝑣 est la vitesse de l’objet. Nous pouvons remplacer l’énergie cinétique finale par un demi de 𝑚𝑣 final au carré et l’énergie cinétique initiale par un demi de 𝑚𝑣 initial au carré. Pour isoler la force, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 𝑑, ce qui annulera le déplacement du côté gauche.

Maintenant que nous avons une expression pour notre force, nous pouvons remplacer les valeurs de notre problème. Nous utilisons 96 pour la masse, 11 pour la vitesse finale, 17 pour la vitesse initiale et 96 pour le déplacement. Lorsque nous multiplions notre premier terme, la moitié de 96 fois 11 au carré, nous obtenons 5808. En multipliant le deuxième terme d’un demi fois 96 fois 17 au carré, nous obtenons 13872. Lorsque nous soustrayons notre numérateur et divisons par notre dénominateur, nous obtenons une force de moins 84 newtons. On nous demande de trouver l’intensité de la force, et donc nous n’avons pas besoin du signe négatif car cela indique le sens. En utilisant le principe du travail et de l’énergie, l’intensité de la force agissant sur l’objet est de 84 newtons.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la perte d’énergie cinétique après la collision de deux balles se déplaçant dans des sens opposés.

Deux sphères se déplacent dans des sens opposés le long d’une ligne horizontale. La première sphère a une masse de six kilogrammes et sa vitesse est de 75 centimètres par seconde lorsqu’elle entre en collision avec la deuxième sphère, qui se déplace à 80 centimètres par seconde. À la suite de l’impact, la première sphère rebondit de 15 centimètres par seconde le long de la même ligne dans le sens opposé, et la deuxième sphère s’arrête. Déterminez la perte d’énergie cinétique résultant de l’impact.

Nous pouvons dessiner un schéma du problème ci-dessous. La sphère un sera représentée par le cercle bleu, et la sphère deux sera représentée par le cercle rose. Avant la collision, la sphère un a une masse de six kilogrammes et se déplace à 75 centimètres par seconde. Après la collision, la même sphère se déplace maintenant à 15 centimètres par seconde dans le sens opposée. Avant la collision, la sphère deux se déplace vers la sphère un à une vitesse de 80 centimètres par seconde. Après la collision, la sphère deux est au repos, ce qui signifie qu’elle a une vitesse de zéro centimètre par seconde. On nous demande de trouver la perte d’énergie cinétique, en nous rappelant que l’énergie cinétique d’un objet est égale à la moitié de 𝑚𝑣 au carré, où 𝑚 est la masse et 𝑣 est la vitesse de l’objet. Nous avons besoin de la masse des deux objets pour déterminer la perte d’énergie cinétique. Cependant, nous n’avons pas la masse de la sphère deux.

Nous pouvons utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour déterminer la masse inconnue. Rappelez-vous que la conservation de la quantité de mouvement indique que la quantité de mouvement initiale d’un système est égale à la quantité de mouvement finale d’un système. En rappelant que la quantité de mouvement d’un objet est égale à la masse de l’objet multipliée par sa vitesse, nous pouvons développer notre équation de la conservation de la quantité de mouvement. Lorsque nous utilisons les valeurs de la quantité de mouvement de chaque sphère avant et après la collision, nous obtenons l’expression ci-dessous. Avant de pouvoir effectuer des calculs, nous devons convertir les unités. Nos vitesses nous ont été données en centimètres par seconde, mais doivent être converties en mètres par seconde. Un mètre est égal à 100 centimètres, nous pouvons donc diviser chacune de nos vitesses par 100 pour les convertir de centimètres par seconde en mètres par seconde. Nous avons maintenant 0,75 ; moins 0,80 ; moins 0,15 et zéro pour nos vitesses.

Maintenant, nous pouvons multiplier chacun des termes de notre équation. Nous obtenons 4,50 moins 0,80 fois 𝑚 est égal à moins 0,90 plus zéro. Pour isoler 𝑚, nous pouvons ajouter 0,80𝑚 aux deux côtés de l’équation et 0,90 aux deux côtés de l’équation. Notre dernière étape pour trouver la masse serait de diviser les deux côtés par 0,80 ; ce qui nous donne une masse pour la sphère deux de 6,75 kilogrammes. Maintenant, nous pouvons déterminer notre perte d’énergie cinétique. Pour trouver la perte d’énergie cinétique, nous devons soustraire l’énergie cinétique initiale de l’énergie cinétique finale. En utilisant notre équation pour l’énergie cinétique, nous pouvons développer notre perte dans l’équation de l’énergie cinétique. Après la collision, seule la sphère un a de l’énergie cinétique alors que la sphère deux est au repos. Par conséquent, nous n’avons qu’un seul objet qui a une énergie cinétique finale, qui peut être exprimée comme un demi fois six fois 0,15 au carré.

Nous avons deux énergies cinétiques initiales puisque la sphère un et la sphère deux se déplaçaient avant la collision. Notez que nous avons encore une fois converti nos vitesses en mètres par seconde avant de les utiliser dans l’équation. En multipliant nos variables, nous obtenons 0,0675 pour notre premier terme, 1,6875 pour notre deuxième terme et 2,16 pour notre troisième terme. Lorsque nous soustrayons nos énergies cinétiques initiales de notre énergie cinétique finale, nous nous retrouvons avec une perte de moins 3,78 joules, le symbole négatif indique que nous avons perdu de l’énergie. La perte d’énergie cinétique résultant de l’impact est de 3,78 joules.

Dans le prochain exemple de problème, nous utiliserons le principe du travail et de l’énergie pour calculer le rapport des résistances.

Deux balles de masse égale ont été tirées vers une cible à la même vitesse mais dans des sens opposés. La cible était formée de deux parties de métal différentes collées ensemble. La première avait une épaisseur de neuf centimètres et la seconde de 12 centimètres. Lorsque les balles touchent la cible, la première traverse la première couche et arrive quatre centimètres dans la deuxième couche avant de s’arrêter, tandis que l’autre balle traverse la deuxième couche et arrive à cinq centimètres dans la première couche avant de s’arrêter. En utilisant le principe du travail et de l’énergie, calculez le rapport entre la résistance de la première couche métallique et celle de la seconde.

Le schéma ci-dessous représente une visualisation du problème, le rectangle jaune étant la première couche avec une épaisseur de neuf centimètres et le rectangle rose représentant la deuxième couche avec une épaisseur de 12 centimètres. La ligne pointillée bleue supérieure représente la première balle, qui a fini par s’arrêter à quatre centimètres dans la deuxième couche. Et la ligne pointillée bleue en bas représente la deuxième balle, qui a fini par s’arrêter à cinq centimètres dans la première couche.

Le problème nous dit d’utiliser le principe du travail et de l’énergie. Sous forme d’équation, c’est-à-dire que le travail effectué sur un objet est égal au changement d’énergie cinétique de l’objet. Nous pouvons appliquer cette équation aux deux balles. Rappelons que le travail effectué sur un objet est égal à la force multipliée par le déplacement. Le travail effectué sur la première balle est 𝐹 un fois neuf plus 𝐹 deux fois quatre. 𝐹 un représente la résistance de la couche un et neuf est l’épaisseur lorsque la balle traverse complètement la couche un. Et 𝐹 deux représente la force de résistance de la couche deux et quatre pour la distance lorsque la balle s’arrête à quatre centimètres dans la couche deux. Nous pouvons laisser ΔKE comme le changement d’énergie cinétique, car les deux balles ont la même masse, la même vitesse initiale et se sont finalement immobilisées.

L’équation développée pour la deuxième balle est 𝐹 un fois cinq plus 𝐹 deux fois 12 est égal à ΔKE. 𝐹 un et 𝐹 deux représentent encore une fois la force de résistance des couches respectives, la couche un et la couche deux. Cinq est la distance à laquelle la deuxième balle s’arrête dans la première couche, soit cinq centimètres. Et 12 vient du fait que la balle traverse toute la deuxième couche, qui a une épaisseur de 12 centimètres. Nous voulons trouver le rapport de 𝐹 un et 𝐹 deux ou la résistance de la première couche métallique par rapport à celle de la seconde. Pour ce faire, nous pouvons soustraire nos équations. 𝐹 un fois neuf moins 𝐹 un fois cinq donne 𝐹 un fois quatre. Et 𝐹 deux fois quatre moins 𝐹 deux fois 12 donne moins 𝐹 deux fois huit. Lorsque nous soustrayons nos deux changements d’énergie cinétique, nous obtenons zéro, car les balles ont la même masse, la même vitesse initiale et sont au repos au final.

Notre prochaine étape consiste à ajouter 𝐹 deux fois huit aux deux membres de l’équation. Pour réorganiser notre équation afin d’avoir un rapport, nous pouvons diviser les deux côtés par 𝐹 deux et les deux côtés par quatre. Le rapport de 𝐹 un à 𝐹 deux est de deux pour un, plus communément écrit sous cette forme. Le rapport entre la résistance de la première couche métallique et celle de la seconde est de deux pour un.

Maintenant que nous avons discuté du principe du travail et de l’énergie et regardé quatre exemples de problèmes, passons en revue les points clés de cette vidéo.

Points clés

Le travail sur un objet est égal à la variation de l’énergie cinétique de l’objet. Sous forme d’équation, ce serait 𝑊 égal à ΔKE, qui est également connu sous le nom de principe du travail et de l’énergie. Le principe du travail et de l’énergie peut être utilisé pour résoudre des problèmes impliquant une particule en mouvement sous l’action d’une force constante.

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