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Vidéo de question : Déterminer le scalaire qui satisfait une opération sur des vecteurs représentés dans une figure Mathématiques

A partir des informations du diagramme ci-dessous, déterminez la valeur de 𝑛 telle que 𝐀𝐃 + 𝐃𝐄 = 𝑛𝐀𝐂.

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Transcription de vidéo

A partir des informations du diagramme ci-dessous, déterminez la valeur de 𝑛 telle que le vecteur 𝐀𝐃 plus le vecteur 𝐃𝐄 soit égal à 𝑛 multiplié par le vecteur 𝐀𝐂.

Dans cette question, nous devrons utiliser nos connaissances des vecteurs et des triangles similaires. Les angles 𝐴𝐸𝐷 et 𝐴𝐶𝐵 sont des angles correspondants. Cela signifie qu’ils sont égaux. De même, l’angle 𝐴𝐷𝐸 est égal à l’angle 𝐴𝐵𝐶. Cela signifie que le triangle 𝐴𝐷𝐸 est similaire au triangle 𝐴𝐵𝐶. L’angle au sommet 𝐴 est dans ces deux triangles. Cela signifie que les trois angles des deux triangles sont identiques. La propriété des trois angles étant égaux signifie que les triangles sont similaires.

Lorsque nous traitons avec des triangles similaires, nous savons que les longueurs des côtés correspondants ont le même rapport. Dans ce cas, 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸. En substituant dans les longueurs du diagramme, nous avons 15 sur 7,5 est égal à 𝐴𝐶 sur 10,5. Or 15 divisé par 7,5 est égal à deux. Nous pouvons alors multiplier les deux côtés de cette équation par 10,5, ce qui nous donne 10,5 multiplié par deux est égal à 𝐴𝐶. La longueur de 𝐴𝐶 est donc égale à 21 centimètres. Si 𝐴𝐶 est égal à 21 centimètres, alors 𝐸𝐶 doit être égal à 10,5 centimètres. En effet, 21 moins 10,5 donne 10,5.

Nous allons maintenant libérer de l’espace et considérer l’équation vectorielle qui nous a été donnée dans la question. Nous savons que le vecteur 𝐃𝐄 est égal au vecteur 𝐃𝐀 plus le vecteur 𝐀𝐄. C’est parce que nous pouvons aller du sommet 𝐷 au sommet 𝐸 via le sommet 𝐴. La substitution dans notre équation initiale nous donne le vecteur 𝐀𝐃 plus le vecteur 𝐃𝐀 plus le vecteur 𝐀𝐄 est égal à 𝑛 multiplié par le vecteur 𝐀𝐂. Comme tout vecteur a à la fois une norme et une direction, le vecteur 𝐃𝐀 est égal à moins le vecteur 𝐀𝐃.

Nous avons maintenant 𝐀𝐃 plus moins 𝐀𝐃 plus 𝐀𝐄 est égal à 𝑛 multiplié par 𝐀𝐂. Or 𝐀𝐃 plus moins 𝐀𝐃 est égal au vecteur nul. Donc, nous avons le vecteur 𝐀𝐄 est égal à 𝑛 multiplié par le vecteur 𝐀𝐂. Nous savons que le vecteur 𝐀𝐄 a une norme de 10,5 et le vecteur 𝐀𝐂 a une norme de 21. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de cette équation par 21, ce qui nous donne 𝑛 est égal à un demi. Cela est lié au fait que les longueurs des côtés du triangle 𝐴𝐷𝐸 sont la moitié de celles de 𝐴𝐵𝐶.

Le facteur d’échelle pour passer du grand triangle au petit triangle est un demi.

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