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Vidéo de la leçon : Division de polynômes par des monômes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à diviser des polynômes par des monômes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment diviser les polynômes par les monômes. Commençons par rappeler ce que nous entendons par un polynôme et un monôme.

Un polynôme est une expression qui consiste en l’addition ou la soustraction d’un certain nombre de termes. Chacun de ces termes peut être une constante. Ils peuvent comporter une variable comme 𝑥 ou 𝑦. Et ils peuvent avoir des puissances. Ces puissances, cependant, doivent être des nombres entiers positifs. Et ils ne peuvent pas être un nombre infini de termes.

Ensuite, un monôme est une expression algébrique qui consiste en juste un seul terme. Encore une fois, toutes les puissances doivent être des nombres entiers positifs. Ainsi, un exemple de monôme pourrait être deux 𝑥 ou trois 𝑥𝑦. Et pour diviser un polynôme par un seul terme, on divise simplement terme par terme. Voyons d’abord cela avec un exemple très simple.

Simplifiez moins 43𝑥 à la puissance sept plus 12𝑥 au cube moins six 𝑥 au carré sur 𝑥.

Afin de simplifier notre fraction algébrique, rappelons ce que la barre de fraction signifie réellement. Elle nous indique que ces deux expressions sont divisées l’une par l’autre. C’est-à-dire que nous divisons moins 43𝑥 à la puissance sept plus 12𝑥 au cube moins six 𝑥 au carré par 𝑥. Dans ce cas, nous appelons le numérateur de notre fraction le dividende. Le dénominateur, l’expression par laquelle nous allons diviser, est le diviseur. Et pour diviser notre dividende par 𝑥, nous le faisons simplement terme par terme.

Une façon de représenter cela est d’utiliser la méthode de l’arrêt de bus. Utiliser la méthode de l’arrêt de bus pour diviser des expressions algébriques est tout comme utiliser cette méthode pour diviser des nombres. Cependant, au lieu de diviser chiffre par chiffre, nous divisons terme algébrique par terme algébrique. Nous allons donc commencer par diviser moins 43 fois 𝑥 à la puissance sept par 𝑥. C’est la même chose que de diviser moins 43𝑥 à la puissance sept par un 𝑥 à la puissance un.

Moins 43 divisé par un est moins 43. Et puis nous rappelons que pour diviser des termes avec des puissances, tant que la base est la même, nous soustrayons les puissances. Donc 𝑥 à la puissance sept divisée par 𝑥 à la puissance un est 𝑥 à la puissance six. Ce qui signifie que moins 43𝑥 à la puissance sept divisée par 𝑥 est moins 43𝑥 à la puissance six.

Ensuite, nous répétons ce processus pour 12𝑥 au cube. Nous allons le diviser par 𝑥. C’est encore une fois la même chose que de diviser par un 𝑥 à la puissance un. 12 divisé par un est 12. Et en utilisant les mêmes règles pour la division avec des termes comportant des puissances, nous voyons que 𝑥 au cube divisé par 𝑥 à la puissance un est 𝑥 au carré. Et donc 12𝑥 au cube divisé par 𝑥 est 12𝑥 au carré.

Nous allons faire cela encore une fois. Maintenant, nous allons diviser moins six 𝑥 au carré par 𝑥. Moins six divisé par un est moins six. Ensuite, 𝑥 au carré divisé par 𝑥 à la puissance un est 𝑥 à la puissance un. Mais nous savons que 𝑥 à la puissance un est juste 𝑥. Et donc, le dernier terme de notre quotient, c’est-à-dire le résultat que nous obtenons lors d’une divisons, est moins six 𝑥. Et donc, lorsque nous simplifions cette fraction algébrique, nous obtenons moins 43𝑥 à la puissance six plus 12𝑥 au carré moins six 𝑥.

Mais bien sûr, ce n’était pas la seule façon de répondre à la question. Revenons à certains de nos calculs. Chaque fois, nous effectuons la division en la considérant comme une fraction. Et donc, ce que nous aurions pu faire alternativement, c’est essentiellement inverser le processus d’addition des fractions. Et nous aurions pu écrire notre fraction comme étant moins 43𝑥 à la puissance sept sur 𝑥 plus 12𝑥 au cube sur 𝑥 moins six 𝑥 au carré sur 𝑥, et partir de là. Les deux méthodes sont parfaitement valables. Il s’agit d’une préférence très personnelle.

Maintenant, tout cela est très bien pour des diviseurs simples comme 𝑥. Mais que faire si nous avons un terme multivarié ? C’est un terme qui comporte plus d’une variable. Voyons voir.

Simplifiez 23𝑥 à la puissance cinq 𝑦 au cube plus 49𝑥 à la puissance quatre 𝑦 au cube plus 41𝑥 au cube 𝑦 au cube sur moins 𝑥𝑦.

Nous rappelons que la barre de fraction signifie diviser. Une façon de simplifier cette fraction consiste donc à utiliser la méthode de l’arrêt de bus et à diviser chaque terme par moins 𝑥𝑦. Sinon, nous pouvons essentiellement inverser le processus d’addition des fractions. Et nous pouvons décomposer notre fraction. Nous l’écrivons comme 23𝑥 à la puissance cinq 𝑦 au cube sur moins 𝑥𝑦 plus 49𝑥 à la puissance quatre 𝑦 au cube sur moins 𝑥𝑦 plus 41𝑥 au cube 𝑦 au cube sur moins 𝑥𝑦.

Et puisque nous avons déjà déterminé que simplifier est comme diviser, alors réfléchissons à la façon dont nous simplifions les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont simplement un nombre. Nous divisons par les plus grands diviseurs communs. Et pour simplifier chacune de ces fractions individuelles, commençons par rechercher les plus grands diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.

Pour faciliter le travail, nous allons commencer par ajouter le coefficient un. Ainsi, moins 𝑥𝑦 est identique à moins un 𝑥𝑦. Ensuite, nous allons commencer par rechercher les plus grands diviseurs communs dans les parties numériques, puis dans les parties 𝑥 et enfin, séparément, dans les parties 𝑦. Commençons donc par rechercher le plus grand diviseur commun de 23 et un. Ces deux nombres sont des nombres premiers entre eux. Et cela signifie que leur seul diviseur commun est un. Et donc nous ne pouvons diviser 23 et un que par un. Et donc la partie numérique de notre numérateur et dénominateur est juste 23 sur un, ce qui est 23.

Et qu’en est-il du plus grand diviseur commun de 𝑥 à la puissance cinq et de 𝑥 ? Nous nous demandons quelle est la plus grande puissance de 𝑥 qui divise ces deux termes sans laisser de reste ? Eh bien, tous deux ne peuvent être divisés que par 𝑥. Et donc, divisons 𝑥 à la puissance cinq par 𝑥 et 𝑥 par 𝑥. Si nous commençons par notre dénominateur, nous savons que 𝑥 divisé par 𝑥 est simplement un. Et puis nous pouvons utiliser une de nos lois de division des puissances pour diviser 𝑥 à la puissance cinq par 𝑥 ou 𝑥 à la puissance un.

Pour diviser ce genre de termes, tant que leurs bases sont égales, nous soustrayons simplement leurs puissances. Ainsi, 𝑥 à la puissance cinq divisée par 𝑥 à la puissance un est 𝑥 à la puissance quatre. Nous allons répéter ce processus une fois de plus, en trouvant cette fois le plus grand commun diviseur de 𝑦 au cube et 𝑦. Leur plus grand commun diviseur est 𝑦. Nous divisons donc 𝑦 par 𝑦 pour obtenir un. Et quand nous divisons 𝑦 au cube par 𝑦, nous obtenons deux.

Mais nous n’avons pas tout à fait fini. Nous devons repérer que nous divisons un terme positif par un terme négatif. Et le résultat sera donc un terme négatif. C’est moins 23𝑥 à la puissance quatre 𝑦 au carré. N’oubliez pas que nous n’avons plus besoin du un au dénominateur. Passons donc à notre deuxième fraction.

Encore une fois, 49 et un sont des nombres premiers entre eux. Ensuite, nous trouvons le plus grand commun diviseur de 𝑥 à la puissance quatre et 𝑥. Eh bien, c’est 𝑥. Nous divisons donc notre dénominateur par 𝑥 pour obtenir un et notre numérateur par 𝑥 pour obtenir 𝑥 au cube. Ensuite, nous trouvons le plus grand commun diviseur de 𝑦 au cube et 𝑦, dont nous avons déjà déterminé qu’il s’agissait de 𝑦. Nous divisons donc notre dénominateur et notre numérateur par 𝑦. Et une fois de plus, en constatant que nous divisons un terme positif par un terme négatif, nous obtenons moins 49𝑥 au cube 𝑦 au carré.

Nous pouvons le faire une fois de plus. 41 et un sont des nombres premiers entre eux. Nous trouvons donc le plus grand commun diviseur entre 𝑥 au cube et 𝑥. C’est encore 𝑥. Nous divisons donc le numérateur et le dénominateur par 𝑥. Nous avons déterminé que le plus grand diviseur commun de 𝑦 au cube et 𝑦 est 𝑦. Nous divisons donc le numérateur et le dénominateur par 𝑦. Et dans notre troisième terme, nous divisons également un terme positif par un terme négatif. Notre troisième terme est donc négatif. C’est moins 41𝑥 au carré 𝑦 au carré.

Et donc, en simplifiant notre fraction, nous avons divisé un polynôme par un monôme. Le résultat est moins 23𝑥 à la puissance quatre 𝑦 au carré moins 49𝑥 au cube 𝑦 au carré moins 41𝑥 au carré 𝑦 au carré. Maintenant, nous avons également vu que nous pouvons effectuer ce processus en utilisant la méthode de l’arrêt de bus. Encore une fois, il est important de savoir que l’une ou l’autre méthode est parfaitement valable. Il s’agit d’une préférence très personnelle.

Nous allons maintenant voir un exemple où nous pouvons simplifier avant de diviser un terme par un autre.

Simplifiez 12𝑎 à la puissance cinq fois 11𝑎 à la puissance 13 𝑏 à la puissance 13 moins 12𝑎 à la puissance cinq 𝑏 à la puissance 13 sur deux 𝑎 à la puissance sept 𝑏 au carré.

N’oubliez pas que cette barre de fraction signifie diviser. Donc, essentiellement, nous divisons ici un polynôme par un monôme. Notre première pensée pourrait être de distribuer les parenthèses sur notre numérateur. Cependant, nous pouvons nous épargner du temps. Nous allons commencer par rechercher le plus grand commun diviseur de 12𝑎 à la puissance cinq et de deux 𝑎 à la puissance sept 𝑏 au carré.

Maintenant, nous sommes autorisés à faire cela et à diviser par ce plus grand commun diviseur, parce que nous pouvons voir que tout diviseur de 12𝑎 à la puissance cinq doit être un diviseur du numérateur entier. Trouvons donc le plus grand commun diviseur de ces deux termes. Nous pouvons le faire en considérant d’abord les parties numériques, puis la partie 𝑎 et enfin la partie 𝑏. Le plus grand commun diviseur de 12 et deux est deux. Deux est le plus grand nombre qui divise 12 et deux sans laisser de reste.

Ensuite, le plus grand commun diviseur de 𝑎 à la puissance cinq et de 𝑎 à la puissance sept est 𝑎 à la puissance cinq. Il n’y a pas de 𝑏 dans 12𝑎 à la puissance cinq. Nous avons donc trouvé le plus grand commun diviseur. Et avant de faire quoi que ce soit, nous allons ensuite diviser le numérateur et le dénominateur de notre fraction par deux 𝑎 à la puissance cinq.

Pour diviser 12𝑎 à la puissance cinq par deux 𝑎 à la puissance cinq, nous divisons d’abord 12 par deux. Cela fait six. Ensuite 𝑎 à la puissance cinq divisé par 𝑎 à la puissance cinq est un. Donc 12𝑎 à la puissance cinq divisé par deux 𝑎 à la puissance cinq est six. De même, nous divisons deux 𝑎 à la puissance sept 𝑏 au carré par deux 𝑎 à la puissance cinq. Deux divisé par deux est un. Ensuite, 𝑎 à la puissance sept divisé par 𝑎 à la puissance cinq est 𝑎 au carré. 𝑏 au carré divisé par un est 𝑏 au carré. Donc, deux 𝑎 à la puissance sept 𝑏 au carré divisé par deux 𝑎 à la puissance cinq est 𝑎 au carré 𝑏 au carré.

Cela signifie que nous pouvons réécrire notre fraction comme six fois 11𝑎 à la puissance 13𝑏 à la puissance 13 moins 12𝑎 à la puissance cinq 𝑏 à la puissance 13 plus 𝑎 au carré 𝑏 au carré. Maintenant, nous sommes prêts à distribuer nos parenthèses. Nous le faisons en multipliant six par le premier terme et ensuite six par le deuxième. Six fois 11𝑎 à la puissance 13𝑏 à la puissance 13 est 66𝑎 à la puissance 13𝑏 à la puissance 13. Et puis six fois moins 12𝑎 à la puissance cinq 𝑏 à la puissance 13 est moins 72𝑎 à la puissance cinq 𝑏 à la puissance 13. Et tout cela est sur 𝑎 au carré 𝑏 au carré.

Maintenant, il y a plusieurs façons d’évaluer la division à ce stade. Puisque cette barre de fraction signifie en fait une division, donc nous pourrions utiliser l’arrêt de bus ou nous pouvons inverser le processus d’addition des fractions. Et nous pouvons décomposer cela en deux fractions individuelles. Ensuite, comme nous l’avons fait précédemment, nous diviserons par le plus grand commun diviseur de notre numérateur et de notre dénominateur. Et si nous voulons, nous pouvons le faire séparément pour la partie numérique, puis pour la partie 𝑎, puis pour la partie 𝑏.

Faisons de sorte que le dénominateur soit un 𝑎 au carré 𝑏 au carré. Et alors le plus grand commun diviseur de 66 et un est un. Nous laissons donc cela pour l’instant. Ensuite, qu’en est-il du plus grand commun diviseur de 𝑎 à la puissance 13 et 𝑎 au carré ? Eh bien, c’est 𝑎 au carré. Nous divisons donc le numérateur et le dénominateur par 𝑎 au carré. Cela donne 𝑎 à la puissance 11 au numérateur et un au dénominateur.

De même, le plus grand diviseur commun de 𝑏 au carré et de 𝑏 à la puissance 13 est 𝑏 au carré. Ainsi, lorsque nous divisons par 𝑏 au carré, il nous reste simplement 𝑏 à la puissance 11 au numérateur. Et donc notre premier terme est 66𝑎 à la puissance 11𝑏 à la puissance 11 sur un, ou simplement 66𝑎 à la puissance 11𝑏 à la puissance 11.

Répétons ce processus pour notre deuxième fraction. 72 et 1 ont comme plus grand commun diviseur 1, donc nous les laissons. Ensuite, le plus grand commun diviseur de 𝑎 à la puissance cinq et 𝑎 au carré est 𝑎 au carré. En divisant, il nous reste 𝑎 au cube au numérateur. Ensuite, le plus grand commun diviseur de 𝑏 au carré et de 𝑏 à la puissance 13 est 𝑏 au carré. Et comme avant, cela nous laisse avec 𝑏 à la puissance 11. Et nous voyons donc qu’il nous reste 66𝑎 à la puissance 11𝑏 à la puissance 11 moins 72𝑎 au cube 𝑏 à la puissance 11.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment nous pouvons associer la division des polynômes par des monômes à des questions géométriques.

L’aire d’un triangle est 12𝑥 au carré plus quatre 𝑥 centimètres carrés, et sa base est de quatre 𝑥 centimètres. Ecrivez une expression pour sa hauteur.

Commençons par rappeler comment nous déterminons l’aire d’un triangle. Pour un triangle dont la base est 𝑏 unités et dont la hauteur perpendiculaire est ℎ unités, son aire est un demi la base fois la hauteur. Et l’aire sera donnée en unités carrées. Maintenant, peu importe que nous travaillions avec des expressions algébriques. Nous pouvons toujours substituer dans cette formule.

Considérons la hauteur ℎ ou ℎ centimètres. On nous dit que l’aire est 12𝑥 au carré plus quatre 𝑥 et que la base est quatre 𝑥. On peut donc écrire 12𝑥 au carré plus quatre 𝑥 égale à un demi fois quatre 𝑥 fois ℎ. Maintenant, comme nous pouvons trouver un demi de quatre 𝑥 assez facilement, nous devrions le faire. Cela rendra la prochaine étape un peu plus facile. Mais si nous n’y parvenons pas, ce que nous pourrions faire, c’est multiplier les deux côtés par deux.

Mais nous n’allons pas le faire. Nous allons écrire le côté droit comme deux 𝑥 fois ℎ. Et puisque nous cherchons à trouver la valeur de ℎ, ou certainement une expression pour ℎ, nous résolvons pour ℎ en divisant par deux 𝑥. Ainsi, ℎ est 12𝑥 au carré plus quatre 𝑥 le tout sur deux 𝑥.

Il existe plusieurs façons de simplifier cette fraction ou de diviser le numérateur par le dénominateur. L’une d’elles consiste à utiliser la méthode de l’arrêt de bus. Voyons comment ça se passe. Comme nous divisons par un monôme, nous n’avons pas besoin d’utiliser une division posée. Nous allons simplement diviser chaque terme de notre dividende, c’est l’expression du second degré ici, par le diviseur, c’est deux 𝑥. Donc 12 divisé par deux est six, et 𝑥 au carré divisé par 𝑥 est 𝑥. Nous voyons donc que 12𝑥 au carré divisé par deux 𝑥 est six 𝑥. Ensuite, nous divisons quatre 𝑥 par deux 𝑥. Eh bien, quatre divisé par deux est deux, et 𝑥 divisé par 𝑥 est un. Donc, lorsque nous divisons 12𝑥 au carré plus quatre 𝑥 par deux 𝑥, nous obtenons six 𝑥 plus deux. Et c’est ainsi que nous exprimons ℎ.

Il est bien sûr intéressant de noter que nous travaillons en centimètres et en centimètres carrés. Donc les unités pour la hauteur ℎ sont aussi en centimètres. La hauteur est six 𝑥 plus deux centimètres.

Dans cette vidéo, nous avons vu que pour diviser un polynôme par un monôme, nous divisons terme par terme. Pour ce faire, nous devons utiliser la méthode de l’arrêt de bus. Une autre méthode consiste à décomposer le problème en fractions dont les numérateurs sont également des monômes. Ensuite, nous simplifions en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur.

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