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Vidéo de question : Détermination du taux de variation de la distance entre un point fixe et un point se déplaçant sur la courbe d’une fonction racine à l’aide de taux associés Mathématiques

Un point se déplace sur la courbe représentative de f (𝑥) = √ (𝑥² + 2). Son abscisse 𝑥 évolue à la vitesse de 9√15 cm/s. Calculez le taux de variation de la distance entre ce point et celui de coordonnées (1 ; 0) lorsque 𝑥 = 3.

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Transcription de vidéo

Un point se déplace sur la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 au carré plus deux. Son abscisse 𝑥 évolue à la vitesse de neuf racine carrée de 15 centimètres par seconde. Calculez le taux de variation de la distance entre ce point et celui de coordonnées un, zéro lorsque 𝑥 est égal à trois.

La question nous dit qu’un point se déplace sur la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à racine carrée de 𝑥 au carré plus deux. On nous indique également que son abscisse 𝑥 augmente à un rythme de neuf racine carrée de 15 centimètres chaque seconde. La question veut que nous trouvions le taux de variation de la distance entre ce point et le point un, zéro lorsque 𝑥 est égal à trois. Puisque la question veut que nous trouvions le taux de variation de la distance entre ce point et le point un, zéro, calculons une formule pour la distance entre ces deux points. Puisque le point se trouve sur la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 au carré plus deux, sa coordonnée 𝑦 va être l’image de cette fonction. En d’autres termes, ses coordonnées cartésiennes sont 𝑥, racine carrée de 𝑥 au carré plus deux.

Nous voulons donc trouver une expression pour la distance entre le point un, zéro et le point 𝑥, racine carrée de 𝑥 au carré plus deux. Nous pouvons le faire en construisant un triangle rectangle, puis en utilisant le théorème de Pythagore. Puisque nous nous intéressons au taux de variation au point où 𝑥 est égal à trois, nous voyons que 𝑥 est supérieur à un et que la racine carrée de 𝑥 au carré plus deux est supérieure à zéro en ce point. Nous allons donc dessiner le point 𝑥, racine carrée de 𝑥 au carré plus deux à droite de notre point un, zéro. Nous pouvons alors soustraire les abscisses 𝑥 de ces deux points pour trouver la base de notre triangle rectangle. Et nous pouvons soustraire les ordonnées 𝑦 pour trouver la hauteur de ce triangle rectangle. Cela nous donne une base de longueur 𝑥 moins un et une hauteur de longueur racine carrée de 𝑥 au carré plus deux.

Donc, en utilisant le théorème de Pythagore, nous avons notre distance au carré est égale à 𝑥 moins un au carré plus la racine carrée de 𝑥 au carré plus deux au carré. La distribution de notre exposant sur les parenthèses nous donne 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus un. Et la racine carrée de 𝑥 au carré plus deux le tout au carré est juste 𝑥 au carré plus deux. Nous pouvons simplifier davantage en ajoutant nos termes 𝑥 au carré et en additionnant nos constantes. Cela nous donne deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois. Enfin, nous allons prendre les racines carrées des deux côtés de cette équation. Puisque notre distance est positive, cela nous donne que 𝐷 est égale à la racine carrée de deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois. Et nous avons donc trouvé une équation pour notre distance en fonction de 𝑥.

Mais la question veut que nous trouvions le taux de variation de notre distance par rapport au temps lorsque 𝑥 est égal à trois. Nous avons une fonction de 𝑥, nous allons donc devoir appliquer la règle de dérivation en chaîne. La règle de dérivation en chaîne nous dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors nous pouvons calculer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Mais calculons d’abord la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 et multiplions-la par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Donc, en utilisant la règle de dérivation en chaîne, nous pouvons calculer la dérivée de notre fonction distance, par rapport au temps. Mais calculons d’abord la dérivée de notre fonction distance par rapport à 𝑥 puis multiplions-la par la dérivée de 𝑥 par rapport au temps.

La question nous dit que la coordonnée 𝑥 augmente à un rythme de neuf racines de 15 centimètres par seconde. Cela revient à dire que la dérivée de 𝑥 par rapport au temps est égale à neuf racine de 15. Nous avons donc déjà trouvé d𝑥 sur d𝑡. Cela signifie que tout ce que nous devons faire maintenant, c’est trouver la dérivée de notre fonction distance par rapport à 𝑥. Nous devons donc calculer la dérivée de deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois le tout élevé à la puissance un demi par rapport à 𝑥. Nous essayons maintenant de dériver la composition de deux fonctions, nous pouvons donc le faire à nouveau en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Si nous définissons 𝑢 égal à deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois, qui est notre fonction interne, alors nous avons que 𝐷 est égal à 𝑢 à la puissance un demi. Mais 𝑢 est une fonction de 𝑥.

Ainsi, en utilisant la règle de dérivation en chaîne, nous pouvons calculer la dérivée de notre fonction distance par rapport à 𝑥 en calculant d’abord la dérivée de notre fonction distance par rapport à 𝑢, puis en multipliant cela par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Pour calculer la dérivée de notre fonction distance par rapport à 𝑢, il suffit de calculer la dérivée de 𝑢 à la puissance un demi par rapport à 𝑢. Nous pouvons le faire en utilisant la règle des puissances pour les dérivées. Nous multiplions par l’exposant un demi et réduisons ensuite l’exposant de un. Cela nous donne un demi de 𝑢 à la puissance moins un demi.

Maintenant, pour calculer d𝑢 sur d𝑥, nous devons dériver 𝑢 est égal à deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois par rapport à 𝑥. Nous allons utiliser à nouveau la règle des puissances pour la dérivation. La dérivée de deux 𝑥 au carré est quatre 𝑥, et nous soustrayons la dérivée de deux 𝑥, qui est deux. Et enfin, la dérivée de la constante trois est juste égale à zéro. Enfin, nous allons utiliser 𝑢 est égal à deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois. Ensuite, ramener notre exposant négatif au dénominateur nous donne que la dérivée de notre fonction distance par rapport à 𝑥 est égale à quatre 𝑥 moins deux divisé par deux multiplié par la racine carrée de deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois.

Nous sommes maintenant prêts à utiliser la règle de dérivation en chaîne pour trouver une expression de la dérivée de notre fonction distance par rapport au temps. Nous avons calculé la dérivée de notre fonction distance par rapport à 𝑥 et nous avons calculé la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. Cela nous donne la dérivée de notre fonction distance par rapport au temps égale à quatre 𝑥 moins deux multiplié par neuf racine de 15 le tout divisé par deux multiplié par la racine carrée de deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois.

Enfin, la question veut que nous trouvions le taux de variation de notre fonction distance par rapport au temps lorsque 𝑥 égale trois. Nous allons donc utiliser 𝑥 égale trois dans cette expression. Cela nous donne quatre fois trois moins deux multiplié par neuf racine de 15 le tout divisé par deux fois la racine carrée de deux fois trois au carré moins deux fois trois plus trois. Cela nous donne que quatre fois trois moins deux est 10, et nous multiplions cela par neuf racine de 15 pour obtenir un numérateur de 90 racine carrée de 15. De même, nous pouvons calculer notre dénominateur pour obtenir deux multiplié par la racine carrée de 15. Nous avons donc 90 racine 15 divisé par deux racine de 15, que nous pouvons calculer et qui donne 45. Et puisque la question nous dit que ces unités sont en centimètres par seconde, nous pouvons ajouter des unités à cette réponse.

Par conséquent, nous avons montré que le taux de variation de la distance entre notre point et le point un, zéro lorsque 𝑥 est égal à trois, est de 45 centimètres par seconde.

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