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Vidéo question :: Déterminer la mesure de l’angle entre une droite et un axe de coordonnées Mathématiques • Troisième secondaire

Déterminez, à la seconde d'arc près, la mesure de l'angle entre la droite d'équation (𝑥 + 1)/2 = (𝑦 - 2)/- 4 = (𝑧 + 2)/5 et l’axe des 𝑥.

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Transcription de la vidéo

Déterminez, à la seconde d'arc près, la mesure de l'angle entre la droite d'équation 𝑥 plus un sur deux égale 𝑦 moins deux sur moins quatre égale 𝑧 plus deux sur cinq et l’axe des 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la mesure de l’angle entre deux droites. Et nous devons donner cet angle à la seconde près. Pour ce faire, commençons par rappeler comment trouver la mesure de l’angle entre deux droites. Nous savons que si nous avons deux droites avec des vecteurs directeurs 𝐝 un et 𝐝 deux, alors l’angle 𝜃 entre les deux droites satisfera l’équation cosinus 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐝 un et 𝐝 deux divisé par la norme de 𝐝 un fois la norme de 𝐝 deux. Par conséquent, pour trouver l’angle entre les deux droites, nous devons trouver le vecteur directeur de chaque droite.

Commençons par trouver le vecteur directeur de la première droite. Nous pouvons le faire en rappelant que si une droite est donnée sous forme cartésienne, alors les dénominateurs de ces fractions représentent les composantes de son vecteur directeur. Et lorsque nous utilisons cette méthode, il est important de vérifier les signes des variables. Elles doivent toutes être positives. Donc, dans ce cas, le vecteur directeur 𝐝 un est le vecteur deux, moins quatre, cinq. Notre deuxième droite est la direction de l’axe des 𝑥. Ainsi, les coordonnées 𝑦 et 𝑧 de chaque point de cette droite restent constantes égales à zéro. Seule l’abscisse 𝑥 change. Nous allons donc choisir le vecteur unitaire directionnel 𝐢, qui est le vecteur un, zéro, zéro, comme vecteur directeur de cette droite.

Nous pourrions maintenant remplacer ces vecteurs dans notre équation de l’angle entre les deux droites. Cependant, il est plus facile d’évaluer d’abord le numérateur et le dénominateur du côté droit de cette équation. Commençons par trouver le produit scalaire des deux vecteurs. Nous pouvons le faire en rappelant que pour trouver le produit scalaire de deux vecteurs de même dimension, il suffit de trouver la somme des produits des composantes correspondantes. Cependant, dans ce cas, notre deuxième vecteur a deux composantes égales à zéro. Nous avons donc uniquement le produit des premières composantes des deux vecteurs. Deux fois un donne deux.

Ensuite, nous devons déterminer les normes des deux vecteurs. Commençons par la norme du vecteur 𝐝 un. C’est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. C’est la racine carrée de deux au carré plus moins quatre au carré plus cinq au carré, que nous pouvons calculer pour avoir racine de 45, que nous pourrions simplifier pour donner trois racine de cinq. Et nous pourrions appliquer le même processus pour déterminer la norme du vecteur 𝐝 deux. Cependant, il s’agit du vecteur unitaire 𝐢, nous savons donc déjà que sa norme vaut un. Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs dans notre équation. Nous obtenons que cosinus 𝜃 est égal à deux divisé par la racine de 45 fois un, ce qui donne racine de 45.

Nous pouvons maintenant résoudre l’équation pour déterminer 𝜃 en prenant la réciproque de cosinus des deux côtés de l’équation. Cela nous donne alors que 𝜃 est la fonction réciproque de cosinus de deux sur la racine 45. Et en nous assurant que notre calculatrice est en mode degrés, nous obtenons 72,65 etcetera en degrés. Mais la question veut que nous donnions notre réponse à la seconde près. Nous allons donc devoir convertir cet angle en degrés, minutes et secondes. Pour ce faire, nous commençons par noter qu’il y a 72 degrés dans cet angle. Cela nous laisse un angle restant de 0.65 etcetera en degrés. Puisqu’il y a 60 minutes dans un degré, nous pouvons multiplier cet angle par 60 pour le convertir en minutes. En évaluant cela et en nous assurant d’utiliser les valeurs exactes, nous obtenons 39,23 etcetera en minutes.

Nous pouvons donc voir que cet angle a 39 minutes, puis un angle restant de 0,23 etcetera en minutes. Et encore une fois, nous allons vouloir savoir quel est cet angle restant en secondes. Et comme il y a 60 secondes dans une minute, nous pouvons le faire en multipliant notre angle par 60. Et en utilisant l’angle exact, nous obtenons 14,16 etcetera en secondes. Nous voulons donner notre réponse à la seconde près. Nous devons donc regarder le premier chiffre décimal pour déterminer si nous devons arrondir par excès ou par défaut. C’est un, alors nous devons arrondir par défaut.

Cela nous donne alors notre réponse finale. La mesure de l’angle entre la droite 𝑥 plus un sur deux égale 𝑦 moins deux sur moins quatre égale 𝑧 plus deux sur cinq et la l’axe des 𝑥 à la seconde près est de 72 degrés, 39 minutes et 14 secondes.

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