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Vidéo de question : Déterminer les carrés des nombres complexes sous forme polaire Mathématiques

Si 𝑧 = 3 (cos 45 ° + 𝑖 sin 45 °), que vaut 𝑧² ?

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Transcription de vidéo

Si 𝑧 est égal à trois multiplié par cos de 45 degrés plus 𝑖 sin de 45 degrés, que vaut 𝑧 au carré ?

Ici, on nous a donné un nombre complexe 𝑧 qui est sous forme polaire. La forme polaire d’un nombre complexe est la forme 𝑟 multipliée par cosinus de 𝜃 plus 𝑖 sinus de 𝜃, où 𝑟 est la norme ou le module du nombre complexe et 𝜃 est son argument, parfois appelé aussi son amplitude. On nous demande de déterminer 𝑧 carré qui est le produit de 𝑧 par lui-même. Nous devons donc nous rappeler comment multiplier deux nombres complexes qui sont sous forme polaire.

Nous rappelons que si nous avons un nombre complexe 𝑧 un qui est égal à 𝑟 un multiplié par cosinus de 𝜃 un plus 𝑖 sinus de 𝜃 un et un second nombre complexe 𝑧 deux qui est égal à 𝑟 deux multiplié par cosinus de 𝜃 deux plus 𝑖 sinus de 𝜃 deux, alors le produit de ces deux nombres complexes est donné par 𝑟 un multiplié par 𝑟 deux le tout multiplié par cosinus de 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sinus de 𝜃 un plus 𝜃 deux.

Cela peut paraître un peu compliqué. Mais en réalité, cette règle nous dit que nous devons multiplier les modules de nos deux nombres complexes ensemble pour avoir le module du produit ; soit 𝑟 un 𝑟 deux. Puis, nous devons additionner les arguments de nos deux nombres complexes 𝜃 un plus 𝜃 deux pour donner l’argument du produit. Nous allons voir cela dans un instant.

Dans notre nombre complexe, nous savons alors que la valeur de 𝑟 pour 𝑧 un et 𝑧 deux, puisqu’elles sont toutes les deux identiques, est juste 𝑧 égale à trois et la valeur de 𝜃 un et 𝜃 deux égale 45 degrés. Ainsi, en appliquant ce résultat général, nous avons 𝑧 au carré est égal à trois multiplié par trois multiplié par cosinus de 45 degrés plus 45 degrés plus 𝑖 sinus de 45 degrés plus 45 degrés. Trois multiplié par trois est égal à neuf et 45 degrés plus 45 degrés est égal à 90 degrés.

Notre produit se simplifie donc en neuf multiplié par cosinus de 90 degrés plus 𝑖 sinus de 90 degrés. Nous pourrions simplifier davantage cela parce que cosinus de 90 degrés est égal à zéro et sinus de 90 degrés est égal à un. Cependant, nous laisserons notre nombre complexe 𝑧 au carré dans sa forme polaire. Maintenant, pour voir pourquoi ce résultat est correct, nous devons considérer nos nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux sous une forme différente. Nous devons les considérer sous forme exponentielle.

Ici, 𝑧 un est égal à 𝑟 un 𝑒 à la puissance 𝑖 𝜃 un et 𝑧 deux est égal à 𝑟 deux 𝑒 à la puissance 𝑖 𝜃 deux. Lorsque nous multiplions ces deux nombres complexes sous forme exponentielle, nous obtenons 𝑟 un 𝑒 du 𝑖 𝜃 un multiplié par 𝑟 deux 𝑒 de 𝑖 𝜃 deux. Nous pouvons réorganiser les différentes parties de ce produit pour rapprocher 𝑟 un et 𝑟 deux devant. Nous avons donc maintenant 𝑟 un 𝑟 deux multiplié par 𝑒 de 𝑖 𝜃 un et 𝑒 de 𝑖 𝜃 deux.

Cependant, une de nos règles sur les exposants nous dit que si nous multiplions ensemble deux puissances avec la même base, dans notre cas ici, il s’agit de 𝑒, nous pourrons additionner ces puissances ensemble. Ainsi, 𝑒 à la puissance 𝑖 𝜃 un multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑖 𝜃 deux est égal à 𝑒 à la puissance 𝑖 𝜃 un plus 𝑖 𝜃 deux. Nous pouvons factoriser 𝑖 à partir de cette puissance et écrire la puissance comme 𝑖 multiplié par 𝜃 un plus 𝜃 deux. Nous voyons alors que le produit 𝑧 un 𝑧 deux est un nombre complexe qui a un module de 𝑟 un 𝑟 deux. Il s’agit du produit des modules individuels et il a un argument de 𝜃 un plus 𝜃 deux. Il s’agit de la somme des arguments individuels.

Si nous avions à convertir ce nombre de forme exponentielle en forme polaire, alors nous obtiendrions 𝑧 un 𝑧 deux est égal à 𝑟 un 𝑟 deux multiplié par cosinus de 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sinus de 𝜃 un plus 𝜃 deux, qui est le résultat général que nous avons écrit au début de la question.

En utilisant ce résultat, nous avons trouvé que 𝑧 au carré est égal à neuf multiplié par cosinus de 90 degrés plus 𝑖 sinus de 90 degrés.

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