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Vidéo de question : Déterminer le rang et la valeur du dernier terme positif d’une suite arithmétique Mathématiques

Déterminez l’ordre et la valeur du dernier terme strictement positif de la suite arithmétique (37, 35, 33,...).

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ordre et la valeur du dernier terme strictement positif de la suite arithmétique 37, 35, 33, etc.

Nous savons que toute suite arithmétique a un premier terme 𝑎 et qu’elle a aussi une raison 𝑟. Dans cette question, le premier terme de la suite est 37. Ainsi, 𝑎 est égal à 37. Pour passer de 37 à 35 et de 35 à 33, il faut retrancher deux. Nous trouvons donc une valeur de 𝑟 de moins deux. Le terme général d’ordre 𝑛 d’une suite arithmétique, 𝑎 indice 𝑛, est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un multiplié par 𝑟. Dans cette question, 𝑎 indice 𝑛 est égal à 37 plus 𝑛 moins un multiplié par moins deux.

En distribuant ou en développant les parenthèses, nous pouvons multiplier moins deux par 𝑛 et moins deux par moins un. Le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif. Ainsi, 𝑎 indice 𝑛 est égal à 37 moins deux 𝑛 plus deux. Ceci se simplifie en 39 moins deux 𝑛 ou moins deux 𝑛 plus 39. Nous cherchons le dernier terme positif. Cela signifie que le terme général doit être supérieur à zéro.

Pour résoudre l’inéquation 39 moins deux 𝑛 est supérieur à zéro, commençons par ajouter deux 𝑛 des deux côtés. Cela donne 39 est supérieur à deux 𝑛 ou deux 𝑛 est inférieur à 39. En divisant chaque côté par deux, nous obtenons que 𝑛 est inférieur à 39 sur deux. Ceci est égal à 19 et demi ou 19,5. 𝑛 est inférieur à 19,5. Puisque 𝑛 est un nombre entier, l’ordre est le plus grand nombre entier inférieur à 19,5. L’ordre est égal à 19. Le dernier terme positif de la suite arithmétique est le 19e terme.

Nous pouvons maintenant calculer sa valeur en prenant 𝑛 égale 19 dans l’expression 39 moins deux 𝑛. En multipliant moins deux par 19, nous obtenons moins 38. 39 moins 38 est égal à un. Ainsi, le 19e terme de la suite est un. Nous aurions pu répondre à cette partie de la question par observation. Nous remarquons que cette suite est l’ensemble des nombres impairs plus petits que 37. Ainsi, le dernier terme positif est un, car il s’agit du plus petit nombre impair positif.

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