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Vidéo de question : Déterminer la dérivée première d’une fonction définie par des équations paramétriques Mathématiques

Sachant que 𝑥 = 4𝑡² + 1 et 𝑦 = 4𝑡² + 5𝑡, déterminez 𝑑𝑦 / 𝑑𝑥.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑥 égale quatre 𝑡 au carré plus un et 𝑦 égale quatre 𝑡 au carré plus cinq 𝑡, déterminez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.

Donc, ce que nous avons en fait ici, c’est une paire d’équations paramétriques. Pour dériver cela afin de trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne qui nous permettra de les dériver individuellement. Et ensuite de les rassembler. Donc, pour utiliser la règle de dérivation en chaîne dans cette question, ce que nous pouvons dire, c’est que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡 multiplié par 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥. Donc, comme je l’ai dit, cela nous permet de dériver séparément chacune de nos équations paramétriques. Et puis les rassembler pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.

Donc, ce que je vais faire, c’est commencer par dériver chacune de nos équations. Je vais commencer par 𝑦 égale quatre 𝑡 carré plus cinq 𝑡. On va la dériver pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡 qui donne huit 𝑡 plus cinq. Et juste un rappel rapide sur la façon dont nous avons procédé, je regarde le premier terme. Donc, ce que nous avons est le coefficient multiplié par l’exposant, donc quatre par deux, ce qui nous donne huit 𝑡. Et puis, ce que nous avons fait, c’est réduire l’exposant de un, donc deux moins un. Cela nous donne juste 𝑡 à la puissance un ou 𝑡. Très bien. Nous avons maintenant dérivé 𝑦 égale quatre 𝑡 au carré plus cinq 𝑡. Ensuite, regardons la prochaine équation.

Eh bien, l’équation suivante est 𝑥 égale quatre 𝑡 au carré plus un. Si nous dérivons cela, nous allons trouver 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑡. Et cela va être égal à huit 𝑡. Et nous n’avons rien d’autre à ajouter. Parce que si nous dérivons un, nous obtenons zéro.

D’accord, nous avons maintenant 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡 et 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑡. Cependant, si nous regardons la règle de dérivation en chaîne, ce qu’elle dit est que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 va être égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡 multiplié par 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥. Donc, nous pouvons dire : « Ah, ça va être l’inverse de ce que nous avons trouvé parce que nous avons trouvé 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑡 ». Mais, si nous voulons trouver ce que vaut 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥, ce que nous pouvons faire, c’est simplement trouver l’inverse de 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑡. Nous pouvons donc dire que 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥 est égal à un sur huit 𝑡. D’accord, fantastique. Nous avons tout ce dont nous avons besoin.

Donc, ce que nous pouvons faire, c’est trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en appliquant la règle de dérivation en chaîne. Nous pouvons dire que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à huit 𝑡 plus cinq multiplié par un sur huit 𝑡. Et c’est parce que l’on a 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡 multiplié par 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥. On peut donc dire que, sachant que 𝑥 égale quatre 𝑡 au carré plus un et 𝑦 égale quatre 𝑡 au carré plus cinq 𝑡, alors 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 égale huit 𝑡 plus cinq, le tout sur huit 𝑡.

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