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Vidéo de question : Identification de l’équation d’une sphère Mathématiques

Indiquez si l’équation 2𝑥² + 2𝑦² + 2𝑧² + 4𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 − 44 = 0 représente une sphère ? Si oui, déterminez son rayon et son centre.

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Transcription de vidéo

Indiquez si l’équation deux 𝑥 au carré plus deux 𝑦 au carré plus deux 𝑧 au carré plus quatre 𝑥 plus quatre 𝑦 plus quatre 𝑧 moins 44 égale zéro représente une sphère ? Si oui, déterminez son rayon et son centre.

Cette question nous donne une équation et nous demande de déterminer s’il s’agit de l’équation d’une sphère. Nous savons qu’une sphère est une surface en trois dimensions constituée de tous les points situés à une même distance de son centre. Cette distance s’appelle le rayon de la sphère. Si cette équation représente une sphère, il nous faut déterminer son rayon et son centre à partir de cette équation.

Pour répondre à cette question, rappelons d’abord l’équation d’une sphère. Nous savons qu’une sphère de centre le point 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon 𝑟, qui doit être positif, a pour équation 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 au carré. Ceci est la forme standard de l’équation d’une sphère. Toutes les sphères peuvent être représentées par une équation sous forme standard. Nous pouvons trouver le centre de la sphère et son rayon à partir de son équation sous forme standard.

Puisque toutes les sphères peuvent être représentées par une équation sous forme standard, pour répondre à la question, il faut déterminer si l’équation donnée peut s’écrire sous forme standard. Pour réécrire cette équation sous forme standard, il faut remarquer que l’équation d’une sphère sous forme standard comporte trois binômes qui contiennent chacun uniquement la variable 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement. Ainsi, nous allons tenter de réécrire cette équation en utilisant trois binômes.

Cependant, un problème immédiat se pose. Si nous développons le terme 𝑥 moins 𝑎 au carré par double-distributivité ou par le carré d’un binôme, nous obtenons 𝑥 au carré moins deux 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré. Nous voyons que le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un. Cependant, dans l’équation donnée, le coefficient de 𝑥 au carré est deux. Or, sous la forme standard de l’équation d’une sphère, les coefficients de 𝑥 au carré, 𝑦 au carré et 𝑧 au carré sont égaux à un. Ainsi, la première chose à faire est de réécrire l’équation donnée de façon que les coefficients de ces trois termes soient égaux à un. Nous le faisons en divisant par deux.

Pour multiplier chaque côté de l’équation par un demi, nous multiplions chaque terme par un demi. Ceci revient à diviser chaque terme par deux. Nous obtenons l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré plus deux 𝑥 plus deux 𝑦 plus deux 𝑧 moins 22 égale zéro. Essayons maintenant d’écrire cette équation sous forme standard de l’équation d’une sphère.

Dans la forme standard de l’équation d’une sphère, tous les termes en 𝑥 sont dans le carré du binôme 𝑥 moins 𝑎 au carré. Ainsi, dans notre équation, nous allons tenter de regrouper 𝑥 au carré et deux 𝑥 dans un même binôme au carré. Une méthode consiste à compléter le carré à partir des termes 𝑥 au carré et deux 𝑥. Rappelons que, pour compléter le carré lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un, nous commençons par diviser par deux le coefficient de 𝑥, qui ici vaut deux, ce qui donne la valeur un.

Pour calculer le carré de 𝑥 plus un, nous pouvons développer par double-distributivité ou utiliser la formule du carré d’un binôme et nous obtenons 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Il s’agit presque de la même chose que ce que nous avions au début, 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Cependant, nous avons ajouté la constante un. Par conséquent, si nous retranchons un de 𝑥 plus un au carré, nous obtenons 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Nous avons donc montré, en complétant le carré, que 𝑥 au carré plus deux 𝑥 est égal à 𝑥 plus un au carré moins un.

Nous pouvons utiliser ceci pour réécrire les termes 𝑥 au carré plus deux 𝑥 dans l’équation. Nous pouvons remplacer 𝑥 au carré plus deux 𝑥 par 𝑥 plus un au carré moins un. Pour écrire cette équation comme équation standard d’une sphère, il va falloir faire la même chose avec les termes en 𝑦 et 𝑧. Faisons de même avec 𝑦 au carré plus deux 𝑦.

Normalement, il faut de nouveau compléter le carré pour ces deux termes. Cependant, nous voyons qu’il s’agit exactement de la même expression qu’avec 𝑥. Seulement, nous utilisons maintenant la variable 𝑦. Autrement dit, nous pouvons simplement remplacer 𝑥 par 𝑦 dans cette expression pour compléter le carré avec 𝑦. 𝑦 au carré plus deux 𝑦 est égal à 𝑦 plus un au carré moins un. Nous pouvons donc utiliser ceci pour réécrire les termes 𝑦 au carré plus deux 𝑦 dans notre équation. Nous remplaçons 𝑦 au carré plus deux 𝑦 par 𝑦 plus un au carré moins un.

Enfin, nous faisons de même avec les termes en 𝑧. Nous voyons que nous avons 𝑧 au carré plus deux 𝑧. Encore une fois, pour écrire ceci sous la forme standard de l’équation d’une sphère, nous pouvons compléter le carré. Cependant, nous remarquons qu’il s’agit encore une fois exactement de la même chose que les expressions déjà trouvées. Il suffit donc de remplacer 𝑥 ou 𝑦 par 𝑧. Ainsi, 𝑧 au carré plus deux 𝑧 est égal à 𝑧 plus un au carré moins un. Par conséquent, nous pouvons remplacer 𝑧 au carré plus deux 𝑧 dans notre équation par 𝑧 plus un au carré moins un.

Enfin, dans l’équation donnée, nous retranchons 22, et cela donne finalement zéro. Il s’agit maintenant presque de la forme standard de l’équation d’une sphère. Il ne reste plus qu’à mettre la constante du côté droit de l’équation. Pour ce faire, nous remarquons que moins un moins un moins un moins 22 est égal à moins 25. Nous allons donc ajouter 25 de chaque côté de l’équation. Nous obtenons alors l’équation 𝑥 plus un au carré plus 𝑦 plus un au carré plus 𝑧 plus un au carré égale 25.

Enfin, dans la forme standard de l’équation d’une sphère, la constante est en général sous la forme 𝑟 au carré, où 𝑟 est positif car il représente le rayon de la sphère. Ici, il suffit d’écrire que 25 est égal à cinq au carré. Nous avons donc montré que l’équation donnée dans l’énoncé est équivalente à l’équation 𝑥 plus un au carré plus 𝑦 plus un au carré plus 𝑧 plus un au carré égale cinq au carré. Il s’agit précisément de la forme standard de l’équation d’une sphère de rayon cinq.

Cependant, rappelons que la question demande aussi le centre de la sphère. Il suffit pour cela de fixer à zéro chacun des binômes. En fixant le premier binôme égal à zéro, nous obtenons que 𝑥 plus un est égal à zéro. Nous savons que cela est vrai pour 𝑥 égale moins un. Cela signifie que l’abscisse du centre de la sphère est moins un. Faisons de même pour les deux autres binômes. Nous obtenons que 𝑦 est égal à moins un et 𝑧 est égal à moins un.

Nous avons donc montré que le centre de la sphère est le point moins un, moins un, moins un. Nous avons donc répondu à la question « l’équation deux 𝑥 au carré plus deux 𝑦 au carré plus deux 𝑧 au carré plus quatre 𝑥 plus quatre 𝑦 plus quatre 𝑧 moins 44 égale zéro représente-t-elle une sphère ? » Nous avons montré que oui, il s’agit bien d’une sphère. Son rayon est de cinq et son centre est en moins un, moins un, moins un.

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