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Vidéo de question : Déterminer le type d’un triangle à partir de ses longueurs de côté Mathématiques

Quel type de triangle forme les points 𝐴 (-2; -7), 𝐵 (1; 6) et 𝐶 (9; 6) d’après la longueur des côtés ?

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Transcription de vidéo

Quel type de triangle forme les points 𝐴 moins deux, moins sept, 𝐵 un, six et 𝐶 neuf, six d’après la longueur des côtés ?

Commençons par représenter ces trois points sur un repère. Afin de déterminer le type de ce triangle d’après la longueur des côtés, nous devons déterminer s’il a deux côtés égaux, trois côtés égaux ou aucuns côtés égaux. Cela signifie que nous devons calculer les longueurs de chaque côté et les comparer.

En commençant par le segment horizontal le plus simple entre 𝐵 et 𝐶, il va du point 𝐵 d’abscisse un au point 𝐶 d’abscisse neuf. Sa longueur doit donc être de huit unités. Il semble visible à ce stade qu’il est peu probable qu’une autre longueur soit égale à huit et que les deux autres longueurs n’ont pas non plus l’air égal. Mais voyons si nous pouvons le prouver mathématiquement.

Nous devons calculer la longueur de chaque côté du triangle. Et nous pouvons le faire en utilisant la formule de la distance. Elle nous indique que la distance entre deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est égale à racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. En commençant par la longueur du segment 𝐴𝐵, on a 𝑥 un égale moins deux. 𝑦 un égale moins sept. 𝑥 deux égale un. Et 𝑦 deux égale six. Notez que peu importe quel est le point de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et le point de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux.

On substitue donc ces valeurs dans la formule de la distance, ce qui nous donne racine carrée de un moins moins deux au carré plus six moins moins sept au carré. Nous devons être très prudents avec les signes négatifs lorsque nous utilisons cette formule.

En simplifiant, on obtient racine carrée de trois au carré plus 13 au carré, ce qui est égal à racine carrée de neuf plus 169, ce qui donne enfin racine carrée de 178. Et cette racine carrée est environ égale à 13,34166.

Pour la comparaison des longueurs de côté, une approximation au dixième est probablement suffisante ici. Nous avons donc pour le moment une longueur de huit et une longueur de 13,3, ce qui signifie que nous pouvons déjà exclure que le triangle est équilatéral.

Faisons à présent un peu de place et calculons la longueur du dernier côté. On applique cette fois la formule de la distance entre les points 𝐴 moins deux, moins sept et 𝐶 neuf, six. Substituer les valeurs indiquées à 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑥 deux et 𝑦 deux nous donne racine carrée de neuf moins moins deux au carré plus six moins moins sept au carré.

Et donc notre distance est égale à racine carrée de 11 au carré plus 13 au carré, ce qui se simplifie par racine carrée de 290. Ce qui est environ égal à 17,03 au centième près. On voit donc clairement que ce triangle n’a aucuns côtés égaux. Nous concluons donc qu’il s’agit d’un triangle quelconque.

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