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Vidéo : Transformer les fonctions : qu’advient-il des équations ?

Considérez l’effet des transformations de fonction sur leurs équations. Nous apprendrons à présenter des équations de fonctions transformées sous une forme qui nous aide à identifier la nature de la transformation et à utiliser des équations pour explorer les transformations.

17:25

Transcription de vidéo

Dans cette série de vidéos, nous avons examiné ce qui arrive aux courbes de fonctions lorsque vous les transformez de différentes manières. Nous avons vu des translations verticales et horizontales et des étirements verticaux et horizontaux. Maintenant, nous allons prendre quelques minutes pour regarder ce qui se passe sur l’équation d’une fonction quand nous transformons.

Nous avons vu que 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 est une transformation qui translate 𝑓 de 𝑥 par moins 𝑎 unités dans la direction 𝑥. Donc, si 𝑎 est positif, cela va translater la courbe de la fonction vers la gauche. Et si 𝑎 est négatif, ça va translater la courbe de la fonction vers la droite. Nous avons également vu que 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥 étire 𝑓 de 𝑥 d’un facteur un sur 𝑏 dans la direction 𝑥. Et cela fixe la courbe à l’axe 𝑦 et étire la courbe loin de l’axe 𝑦. Bien que dépendant de la valeur de 𝑏, elle pourrait écraser la courbe vers l’axe 𝑦.

Et nous avons également vu que 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 translate la fonction 𝑓 de 𝑥 par 𝑎 unités dans la direction 𝑦. Donc, si 𝑎 est positif, il déplace la courbe vers le haut. Et si 𝑎 est négatif, il déplace la courbe vers le bas. Et nous avons vu que 𝑏 fois 𝑓 de 𝑥 étire la fonction 𝑓 de 𝑥 d’un facteur 𝑏 dans la direction 𝑦. Maintenant, dans ce cas, ça va verrouiller tous les points sur l’axe 𝑥. Et ça va soit étirer cette courbe loin de l’axe 𝑥, soit ça va l’écraser vers l’axe 𝑥. Différentes choses peuvent se produire pour différentes valeurs de 𝑏.

Maintenant, réfléchissons à certaines équations et voyons l’effet de ces transformations sur elles. Tout d’abord, réfléchissons à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Ainsi, par exemple, si 𝑓 de 𝑥 valait trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un et 𝑎 était égal à cinq. Puis, comme nous l’avons dit dans l’introduction, la courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est translatée cinq unités dans la direction des 𝑦 positifs. Donc, prenez n’importe quel point sur la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, ajoutez cinq à sa coordonnée 𝑦, et vous allez associer sur les 𝑦 égaux 𝑓 de 𝑥 plus cinq courbe.

Donc, c’est le graphique, mais pensons à l’équation de 𝑓 de 𝑥 plus cinq. Eh bien, nous va commencer avec l’expression de 𝑓 de 𝑥, donc trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Et puis, nous allons ajouter cinq à cela, ce qui se simplifie en trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus six. Maintenant, dans ce format ici, il est assez facile de voir que nous avons pris les coordonnées 𝑦 que nous avions de la fonction 𝑓 de 𝑥 et nous venons d’ajouter cinq. Mais dans ce format ici, ce n’est peut-être pas tout à fait aussi immédiatement évident ce qui s’est passé en termes de cette transformation, même si ce n’est pas un changement très spectaculaire de l’équation.

Pensons maintenant aux transformations de type 𝑏 fois 𝑓 de 𝑥. Par exemple, 𝑓 de 𝑥 encore une fois, nous allons prendre trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Et 𝑏 est va être égal à cinq. Si l’on regarde les courbes de ces deux fonctions, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 est égale à cinq fois 𝑓 de 𝑥, tout ce que nous avons fait est que nous avons pris la coordonnée 𝑦 de 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 et nous avons multiplié les par trois. En regardant les courbes de ces fonctions, nous pouvons voir que la coordonnée 𝑦 de 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 viennent d’être multipliés par cinq pour nous donner la coordonnée 𝑦 de 𝑦 est égale à cinq fois 𝑓 de 𝑥. Donc, une fois cinq nous donne cinq. Deux fois cinq nous donne 10. Quatre fois cinq nous donne 20, et ainsi de suite.

Maintenant, regarder l’équation de la fonction cinq fois 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq fois trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Et nous pouvons répartir ces cinq entre parenthèses et simplifier l’expression à cinq 𝑓 𝑥 est égal à 15𝑥 au carré plus 10𝑥 plus cinq. Maintenant, dans ce format simplifié, c’est à peu près le même format, mais tous les coefficients sont cinq fois plus grands. Mais ce n’est pas immédiatement évident ce que fait cette transformation.

Donc, si vous regardez l’autre format ici, nous avons donc les mêmes coordonnées 𝑦 que nous avons pour 𝑓 de 𝑥, mais nous venons de les multiplier par cinq. Donc, comme auparavant, en simplifiant cette expression, nous l’avons réellement mise dans un format qui rend plus difficile de déterminer exactement ce que la transformation faisait, en multipliant toutes les coordonnées 𝑦 par cinq.

Eh bien, regardons maintenant les transformations de type 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Donc, encore une fois, on va utiliser 𝑓 de 𝑥 est égal à trois carrés plus deux 𝑥 plus un. Et nous allons utiliser 𝑎 est égal à cinq. Et j’espère que vous vous souvenez de l’introduction qu’une transformation comme 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 translate la courbe entière 𝑎 unités vers la gauche. Donc, parce que 𝑎 est égal à cinq, nous avons translaté le 𝑓 de 𝑥 courbe de cinq unités vers la gauche.

Ensuite, par exemple, ce point sur 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 correspond à cinq unités à gauche sur 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 plus cinq. Et de même, ce point se transforme ici. Mais c’est un peu plus compliqué quand nous essayons de penser à quoi la fonction va ressembler en termes d’équation. Dans 𝑓 de 𝑥, nous avons pris 𝑥 puis nous l’avons mis au carré et multiplié cela par trois. Et puis, nous avons multiplié 𝑥 par deux, puis nous en avons ajouté un. Donc, dans cette fonction transformée, partout où nous avons vu 𝑥 dans la fonction d’origine, nous allons devoir remplacer cela par 𝑥 plus cinq.

Ainsi, au lieu de trois 𝑥 au carré, on va obtenir trois fois 𝑥 plus cinq carrés. Et au lieu de deux 𝑥, nous allons obtenir deux fois 𝑥 plus cinq. Mais le plus un à la fin n’est pas affecté, donc ça va juste rester plus un. Donc, maintenant, nous devons multiplier ces expressions. Et 𝑥 plus cinq au carré est 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 25. Et puis, deux fois 𝑥 plus cinq, la distribution de deux sur les parenthèses nous donne deux 𝑥 plus 10. Ensuite, la distribution de ce trois sur ces parenthèses ici nous donne trois 𝑥 au carré plus 30𝑥 plus 75. Et puis, juste en rangeant à la fin, 10 plus un est 11.

Ainsi, la version entièrement ordonnée et simplifiée 𝑓 de 𝑥 plus cinq est égale à trois 𝑥 au carré plus 32𝑥 plus 86 est toujours expression du second degré. Mais cela ne ressemble pas à un simple changement évident pour le transformer à partir de la fonction d’origine trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Encore une fois, si vous avez laissé votre fonction transformée dans ce format non simplifié, vous pourriez avoir un indice que ce que nous faisions était de translater la fonction cinq unités vers la gauche, où nous avons essentiellement ajouté cinq à tous les 𝑥 — saisir des valeurs dans la fonction. Mais si vous avez simplifié dans ce format, ce n’est pas vraiment une étape facile pour déterminer exactement ce que cette transformation va être si vous ne savez pas que nous l’avons appelé 𝑓 de 𝑥 plus cinq.

Alors, enfin, considérons les transformations de fonction de ce format, 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥. Encore une fois, nous utiliserons les mêmes 𝑓 de 𝑥 et 𝑏 sera égal à cinq. Et rappelez-vous que ce type de transformation 𝑦 égale 𝑓 de cinq 𝑥 est va être un étirement fois un sur cinq dans la direction des 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑦. Donc, nous regardons l’axe des 𝑦. Et toutes les distances, toutes les coordonnées 𝑥, vont être multipliées par un cinquième.

Si nous commencions avec une coordonnée 𝑥 de un, nous multiplions cela par un cinquième pour faire 0.2. Et si notre coordonnée 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 commençait à moins deux, nous multiplions cela par un cinquième, ou divisons par cinq, pour obtenir moins 0.4. Alors que tout point qui avait déjà une coordonnée 𝑥 de zéro se transforme en lui-même. Donc, nous pouvons voir que le tout est écrasé vers l’axe 𝑦.

Alors, à quoi va ressembler l’équation de 𝑓 de cinq 𝑥 ? Eh bien, encore une fois, 𝑓 de 𝑥 signifiait que nous avons pris la valeur 𝑥, l’avons mise au carré et multipliée par trois. Nous avons pris la valeur 𝑥 et l’avons doublée, ajoutée à la réponse précédente, puis ajoutée une. Donc, chaque fois que nous voyons 𝑥 dans cette fonction, dans cette expression là, nous allons le remplacer par cinq 𝑥. Et cela signifie qu’au lieu d’obtenir trois 𝑥 au carré, on va obtenir trois fois cinq 𝑥 tous au carré. Et au lieu de seulement deux fois 𝑥, nous allons faire deux fois cinq 𝑥. Mais bien sûr, le plus à la fin n’est pas affecté par tout cela.

Donc, maintenant, nous devons multiplier cela. Et cinq 𝑥 fois cinq 𝑥 est 25𝑥 au carré. Nous avons donc trois fois 25𝑥 au carré. Deux fois cinq 𝑥 font 10𝑥, plus un. Donc, nous pouvons maintenant ranger cela. Donc, dans sa forme simplifiée, 𝑓 sur cinq 𝑥 est égal à 75𝑥 au carré plus 10𝑥 plus un. Donc, encore une fois, c’est toujours une parabole, mais ce n’est pas un changement simple facile et évident pour transformer cela. Donc, encore une fois, dans le format simplifié, il n’est pas évident de déterminer quelle était la transformation. Mais si nous l’avons laissé dans ce format non simplifié ici, nous pouvons voir que nous avons remplacé les 𝑥 ici par cinq 𝑥 ici. Et nous pouvons en quelque sorte déterminer quelle a dû être la transformation.

Donc, je vous ai montré une méthode pour transformer une fonction et la mettre — la simplifier dans un format qui rend difficile de déterminer ce qu’était la transformation. Alors, à quoi ça sert ? Eh bien, vous êtes plus susceptible de le rencontrer dans des questions comme celle-ci.

Montrer que 𝑔 de 𝑥 est égal à 75𝑥 au carré plus 10𝑥 plus un est une transformation sur la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un de telle sorte que 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑓 de cinq de 𝑥.

Donc, ce que nous devons faire, c’est que nous devons montrer que cette expression ici est cette transformation de cette expression ici. Commençons donc par dire que 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Ensuite, nous allons former une expression pour 𝑓 de cinq 𝑥 parce que c’est la transformation que la question donne. Nous allons donc remplacer 𝑥 dans la fonction avec cinq 𝑥. Et puis, nous pouvons le simplifier étape par étape. Et cela nous donne l’expression qu’ils demandent dans la question. Et ils nous ont dit que c’était égal à 𝑔 de 𝑥. Donc, c’était juste un exercice pour réorganiser une formule et choisir des morceaux de la question.

Regardons quelques autres questions qui impliquent la manipulation des équations de fonctions.

𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus deux. La fonction est translatée 𝑎 unités dans la direction 𝑦 pour créer la fonction 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus neuf. Trouvez la valeur de 𝑎.

Eh bien, la question nous a dit que la fonction est translatée de 𝑎, donc plus 𝑎, unités dans la direction 𝑦. Eh bien, cela signifie — et cela crée la fonction 𝑔 de 𝑥. Donc, cela signifie que 𝑔 de 𝑥 est 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Maintenant, on nous a dit que 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus neuf. Donc, nous pouvons remplacer cela dans notre équation. Et on nous a dit que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus deux. Donc, nous pouvons remplacer cela dans notre équation. Et puis, enfin, nous devons simplement ajouter le 𝑎 à la fin. Donc, maintenant, nous pouvons réorganiser et résoudre cette équation.

La soustraction de 𝑥 au carré des deux côtés me donne ceci. Ensuite, ajouter quatre 𝑥 des deux côtés me donne ceci. Et enfin, soustraire deux des deux côtés me donne ceci. 𝑎 est égal à sept. Et si j’ai assez de temps, comme à la fin d’un examen, je peux vérifier cette réponse. Translater une fonction de 𝑎 unités dans la direction 𝑦, c’est comme faire 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Donc, si nous estimons que la réponse 𝑎 est égale à sept, nous pouvons calculer 𝑓 de 𝑥 plus sept. Donc, nous avons obtenu 𝑓 de 𝑥, notre fonction originale 𝑓 de 𝑥. Et nous ajoutons seulement sept à la coordonnée 𝑦 comme nous le faisons là-bas. Et cela nous donne 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus neuf, ce qui est en fait le même que 𝑔 de 𝑥. Nous savons donc que nous avons la bonne réponse.

Notre prochain exemple alors.

𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 plus neuf. Cette fonction est translatée de deux unités positives dans la direction 𝑦 et 𝑐 ou plus 𝑐, les unités de direction 𝑥 de la fonction 𝑔 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 plus deux. Trouvez la valeur de 𝑐.

Maintenant, pour translater une fonction deux unités dans la direction 𝑦, on va placer 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 plus deux. Nous ajoutons deux à toutes les coordonnées 𝑦. Et de translater plus 𝑐 unités dans la direction 𝑥, nous comparons nos fonctions comme celui-ci. 𝑓 de 𝑥 s’associe à 𝑓 de 𝑥 moins 𝑐. Ainsi, la combinaison de ces deux transformations différentes, 𝑓 de 𝑥 va s’associer à 𝑓 de 𝑥 moins 𝑐 plus deux, comme celui-ci.

Maintenant, on nous dit dans la question que cela forme la fonction 𝑔 de 𝑥. Donc, c’est égal à 𝑔 de 𝑥. Alors, bien qu’ils nous ont donné une expression pour 𝑔 de 𝑥 ici, nous allons calculer une autre expression. Et puis, la différence entre les deux nous donnera la valeur de 𝑐. Maintenant, nous savons que 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 plus neuf. Donc, nous devons essayer de déterminer ce que 𝑓 de 𝑥 moins 𝑐 vaut. Eh bien, nous allons devoir remplacer le 𝑥 dans notre fonction 𝑓 de 𝑥 par 𝑥 moins 𝑐. Ainsi, au lieu de trois fois 𝑥, nous allons avoir trois fois 𝑥 moins 𝑐. Et nous allons toujours avoir le plus neuf sur la fin de celui-ci.

Mais alors, rappelez-vous, nous devons ajouter deux. Donc, pour simplifier cela, 𝑔 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 moins trois 𝑐 plus onze. Mais rappelez-vous, nous savons que 𝑔 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 plus deux, nous pouvons donc assimiler ces deux choses. Donc, trois 𝑥 plus deux est égal à trois 𝑥 moins trois 𝑐 plus onze. Eh bien, soustraire trois 𝑥 des deux côtés me donne deux est égal à moins trois 𝑐 plus onze. Ensuite, je pense que j’ajouterais trois 𝑐 des deux côtés, puis soustrais deux. Et puis, je pourrais diviser les deux côtés par trois, me donnant 𝑐 est égal à trois.

La fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 moins cinq fois 𝑥 moins deux fois 𝑥 plus sept se translate de cinq unités positives dans la direction de l’axe 𝑥 positif. Trouvez une équation pour la fonction transformée.

Eh bien, pour translater cinq unités positives dans la direction 𝑥, nous devons associer 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de 𝑥 moins cinq. Donc, dans notre fonction ici 𝑓 de 𝑥, nous devons remplacer 𝑥 par 𝑥 moins cinq. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 moins cinq est égal à, bien, au lieu de 𝑥 dans nos premières parenthèses là, 𝑥 moins cinq, on va utiliser 𝑥 moins cinq. Donc, c’est 𝑥 moins cinq moins cinq. Et encore une fois, dans les parenthèses suivantes, nous remplaçons 𝑥 par 𝑥 moins cinq. Donc, cela devient 𝑥 moins cinq moins deux. Et dans les dernières parenthèses à nouveau, nous allons remplacer 𝑥 avec 𝑥 moins cinq. Donc, maintenant, tout ce que nous avons à faire est de ranger ces parenthèses.

Eh bien, le premier, 𝑥 moins cinq moins cinq autres est 𝑥 moins 10. Et dans le second, 𝑥 moins cinq moins deux autres est 𝑥 moins sept. Et dans le dernier, 𝑥 moins cinq plus sept est 𝑥 plus deux. Donc, en fait, c’est notre réponse. La question disait seulement trouver une équation. Cela ne nous a pas dit de multiplier les parenthèses et de le simplifier. Il a juste dit de trouver une équation. Donc, techniquement, nous nous en serions sortis ici. Mais je pense que c’est un peu effronté. Je pense qu’il est préférable de ranger un peu cette réponse.

Enfin, la fonction 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins trois fois trois 𝑥 plus deux fois quatre moins 𝑥 est translatée de deux unités dans le sens négatif de l’axe des 𝑥. Trouvez une équation pour la fonction transformée.

Maintenant, pour translater deux unités dans le sens négatif de l’axe 𝑥, cela revient à translater de moins deux unités dans la direction 𝑥. Et pour y parvenir, nous devons associer 𝑔 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 plus deux. Et pour calculer 𝑔 de 𝑥 plus deux, nous allons remplacer 𝑥 avec 𝑥 plus deux dans chaque cas dans la fonction. Ainsi, la première parenthèse, au lieu de 𝑥 moins trois, devient 𝑥 plus deux moins trois. Le deuxième terme devient, au lieu de trois 𝑥 plus deux, c’est trois fois 𝑥 plus deux plus deux. Et la dernière parenthèse, au lieu de quatre moins 𝑥, est quatre moins l’ensemble de 𝑥 plus deux.

Nous devons donc faire un peu attention à la façon dont nous les évaluons. Le premier est probablement le plus simple. 𝑥 plus deux moins trois est juste 𝑥 moins un. Maintenant, le deuxième, je vais juste multiplier les parenthèses. Donc, répartissez ces trois sur le 𝑥 plus deux avant d’évaluer cela. Donc, cela fait trois 𝑥 plus six plus deux. Et les dernières parenthèses ici, je retire 𝑥, mais j’en retire aussi deux. Donc, je vais écrire que dans son intégralité. Donc, cela devient quatre moins 𝑥 moins deux.

Donc, maintenant, simplifions ces deux dernières séries de parenthèses. Eh bien, trois 𝑥 plus six plus deux font trois 𝑥 plus huit. Et dans les dernières parenthèses, j’ai quatre moins deux me donne deux. Et puis, j’ai moins 𝑥. Donc, c’est deux moins 𝑥. Donc, ma réponse est 𝑔 de 𝑥 plus deux est égal à 𝑥 moins une fois trois 𝑥 plus huit fois deux moins 𝑥.

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