Vidéo : Composantes horizontales et verticales des vecteurs

Ceci est une introduction aux formes de vecteurs à composantes horizontales et verticales 𝑖 et 𝑗 et comment les utiliser pour ajouter et soustraire des vecteurs.

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Transcription de vidéo

Nous savons déjà qu’un vecteur est un ensemble de nombres qui peuvent être représentés dans un espace approprié par un segment de droite avec une longueur et une direction spécifiques. Nous avons également vu qu’un segment de droite a une norme et une direction, ce qui signifie essentiellement que nous pouvons le décrire en disant combien de fois il est et dans quelle direction il pointe. Dans cette vidéo, on est va parler de composantes horizontale et verticale de vecteurs à deux dimensions et introduire les 𝑖 et 𝑗 unité notation vectorielle.

Tout vecteur bidimensionnel a deux composantes. Le premier représente la quantité de mouvement dans la direction 𝑥 et le second, la quantité de mouvement dans la direction 𝑦. Bien sûr, quand je dis mouvement, je parle simplement des différences de coordonnées 𝑥 et 𝑦 dans une représentation graphique du vecteur par un segment de droite sur un graphique. Le vecteur lui-même pourrait représenter quelque chose de complètement différent, la force ou l’accélération, par exemple. Donc dans ce cas, la quantité de mouvement 𝑥 est cette distance ici. Nous allons donc d’une coordonnée 𝑥 de trois à une coordonnée 𝑥 de six, c’est donc une différence de plus trois. Notre composante 𝑥 du vecteur est donc plus trois. La composante 𝑦 est cette petit quantité ici. La coordonnée 𝑦 de 𝐴 était de deux, la coordonnée 𝑦 de 𝐵 était de neuf, c’est donc une différence de plus sept. Et nous pouvons écrire cela comme 𝐴𝐵, vecteur 𝐴𝐵, dans ce format ici : trois, sept. Ainsi, le trois est la composante 𝑥 et le sept est la composante 𝑦.

Et si nous avions un système de coordonnées tridimensionnelles avec des coordonnées 𝑥 et 𝑦 et 𝑧, nous insérerions simplement un autre nombre à la fin ici sur notre vecteur. Nous pouvons donc étendre ce système à n’importe quel nombre de dimensions.

Nous définissons deux vecteurs spéciaux, 𝑖 et 𝑗, pour être respectivement plus un dans la direction 𝑥 ou plus un dans la direction 𝑦. Donc c’est 𝑖, c’est juste un mouvement de un dans la direction 𝑥. Et voici 𝑗, un mouvement de un dans la direction 𝑦. N’oubliez donc pas que les vecteurs 𝑖 et 𝑗 — sont à un, zéro et zéro, un — peuvent être placés n’importe où sur le graphique. Ils n’ont pas besoin de commencer à l’origine. Nous y voilà donc ; je les ai placés ailleurs. Chaque vecteur décrit simplement un voyage particulier. Dans ce cas particulier ici, pour 𝑖, nous en ajoutons un à la coordonnée 𝑥 et nous laissons la coordonnée 𝑦 telle quelle. Nous faisons donc ce voyage d’ici à là. Dans le cas 𝑗, nous n’ajoutons rien à la coordonnée 𝑥, mais nous en ajoutons une à la coordonnée 𝑦. Il décrit ce mouvement d’ici à là.

Rappelez-vous maintenant, nous pouvons également utiliser les règles d’ajout et de soustraction de vecteurs pour empiler ces 𝑖 et 𝑗, pour créer des vecteurs plus gros. Ainsi, par exemple, ce vecteur ici, 𝑖, représente un mouvement de un dans la direction 𝑥 et aucun dans la direction 𝑦. Si j’augmente cela à ce vecteur ici, donc à toute cette longueur ici, ce serait deux 𝑖 qui se suivent. Ou, ce sera une traduction de deux dans la direction 𝑥 et de zéro dans la direction 𝑦. Maintenant, si j’ajoute à cela ce vecteur ici - qui commence à la fin ici et monte ensuite non pas un, pas deux, mais trois - ce serait trois vecteurs 𝑗 ajoutés ensemble, faisant un vecteur de trois 𝑗 ou zéro, trois. Donc, si j’ajoute deux 𝑖 plus trois 𝑗, cela représente ce voyage vert du point de départ au point d’arrivée ici. Donc deux 𝑖, la composante 𝑥 serait deux. Trois 𝑗, la composante 𝑦 serait trois. Et le trajet direct deux 𝑖 plus trois 𝑗 est la ligne verte. Cela signifie donc que la composante 𝑥 était de deux et la composante 𝑦 était de trois. Nous avons donc maintenant deux façons différentes de représenter ce vecteur vert ici. Nous pouvons l’utiliser dans la notation vectorielle standard que nous connaissons. Mais nous avons cette nouvelle notation ici, en fonction des vecteurs 𝑖 et 𝑗. Le nombre d’étapes dans la direction 𝑥 est le 𝑖 et le nombre d’étapes dans la direction 𝑦 est le 𝑗.

Résumons donc cela dans le cas général. Si nous commençons au point 𝐶 ici avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et nous finissons au point 𝐷 ici avec les coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors le vecteur 𝐶𝐷 est, la composante 𝑥 ici est la différence entre les coordonnées 𝑥 et la composante 𝑦 ici est la différence entre les coordonnées 𝑦. Voilà donc notre façon vectorielle standard de l’écrire. Ou, nous pouvons dire que c’est 𝑥 deux moins 𝑥 un fois le vecteur 𝑖 unité plus 𝑦 deux moins 𝑦 un fois le vecteur 𝑗 unité. Cela a un certain sens. Tout ce que nous disons, c’est que la composante 𝑥 d’un vecteur est le coefficient de 𝑖, dans ce format, et la composante 𝑦 du vecteur est le coefficient de 𝑗, dans ce format. Nous avons donc juste cette nouvelle notation où nous avons le vecteur 𝑖, qui est un pas de un dans la direction 𝑥, le vecteur 𝑗, qui est un pas de un dans la direction 𝑦, et nous disons simplement combien de ceux que nous faisons dans chaque cas pour constituer notre vecteur.

Droite. Alors maintenant, nous connaissons ce nouveau format. Jetons un coup d’œil à quelques questions rapides qui impliquent l’utilisation de 𝑖 et 𝑗 dans nos questions. Nous allons donc poser cette question ici.

Nous avons 𝐴𝐵 ; c’est le vecteur trois 𝑖 plus quatre 𝑗. 𝑋𝑌 est le vecteur moins deux 𝑖 plus trois 𝑗. Et nous devons simplement ajouter ces deux vecteurs ensemble.

La première étape consiste donc simplement à prendre le vecteur 𝐴𝐵 et à ajouter le vecteur 𝑋𝑌. Et tout ce que nous avons à faire est d’ajouter les 𝑖 ensemble en premier, puis d’ajouter les 𝑗 ensemble en second. Donc, trois 𝑖 ajouter moins deux 𝑖 est juste un 𝑖, c’est donc 𝑖. Et quatre 𝑗 ajouter plus trois 𝑗 est sept 𝑗. Il y a donc notre réponse, 𝑖 plus sept 𝑗. Aussi simple que cela, ajoutez les composantes 𝑖 ensemble, ajoutez les composantes 𝑗 ensemble, recherchez les signes négatifs et — lorsque vous faites ces calculs ; mais sinon, c’est un processus assez simple.

Donc, nous allons simplement visualiser cet exemple. Nous avons donc eu trois 𝑖 plus quatre 𝑗. Nous allons donc passer à plus trois 𝑖 puis à plus quatre 𝑗, c’est le vecteur 𝑎𝑏. Nous y voilà donc. Nous venons de poser cela à l’origine. Nous aurions pu le placer n’importe où sur le graphique. Maintenant, en ajoutant des vecteurs, nous les plaçons de bout en bout. Donc, ce que nous ajoutions, 𝑥𝑦, était moins deux 𝑖 plus trois 𝑗. Donc, nous commençons effectivement 𝑥 à partir de 𝐵, donc 𝑥 se trouve au-dessus de 𝐵 et nous allons moins deux 𝑖. Nous allons donc deux dans la direction 𝑥 négative et nous allons plus trois 𝑗, jusqu’ici.

Ainsi, l’ajout de vecteurs consiste simplement à les placer de bout en bout sur le graphique. Nous avons donc posé 𝐴𝐵, qui a commencé ici et s’est terminé ici, puis nous avons simplement ajouté 𝑋𝑌 à la fin de cela, posé cela à la fin. Donc, cela a commencé là où nous venions de terminer, puis nous sommes arrivés ici. Donc, le vecteur résultant est ce vert ici. Et pour aller du début du vecteur vert à la fin du vecteur vert, nous devions aller positif dans la direction 𝑥. Voilà donc un 𝑖, ou juste 𝑖. Et dans la direction 𝑦, nous montons jusqu’à sept ici. C’est donc plus sept 𝑗.

Ainsi, lorsque vous posez ces questions, il s’agit simplement d’ajouter les composantes 𝑥 ensemble, d’ajouter les composantes 𝑦 ensemble et de trouver une réponse simple. Vous n’avez pas besoin de faire toutes ces vérifications graphiques. Mais j’espère juste que cela vous donnera un aperçu supplémentaire du processus et pourquoi il fonctionne.

Bien. Jetons un coup d’œil à une dernière question.

Nous avons le vecteur 𝐴𝐵, c’est trois 𝑖 en moins quatre 𝑗. Le vecteur 𝑋𝑌 est moins quatre 𝑖 ajoutez sept 𝑗. Et nous devons trouver le vecteur 𝐴𝐵 moins vecteur 𝑋𝑌.

Donc, juste en écrivant cela, 𝐴𝐵 est trois 𝑖 moins quatre 𝑗. 𝑋𝑌 est moins quatre 𝑖 plus sept 𝑗, et c’est ce que nous retirons du vecteur 𝐴𝐵. Nous devons donc être très prudents, lorsque nous les supprimons, sur les signes ici parce que nous avons moins un à l’extérieur des parenthèses, nous avons des négatifs et des positifs à l’intérieur des parenthèses.

Commençons donc par les composantes 𝑖. J’ai trois 𝑖 et j’en retire moins quatre 𝑖, ce qui signifie que j’en ajoute quatre 𝑖. Donc, trois 𝑖 ajouter quatre 𝑖 est sept 𝑖. Et puis pour les composantes 𝑗, je commence avec moins quatre 𝑗 et j’en retire plus sept 𝑗, donc f- moins quatre moins sept autres est moins onze 𝑗. Donc, il y a notre réponse, sept 𝑖 moins onze 𝑗.

Et juste pour résumer ensuite ce que nous avons appris. 𝑖 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 un, zéro et 𝑗 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦 zéro, un. Et étant donné que n’importe quel vecteur — comme 𝐴𝐵 est cinq, trois — voici la composante 𝑥, voici la composante 𝑦. Nous pouvons réécrire ceci comme cinq 𝑖, car c’est le nombre de 𝑥, plus trois 𝑗, parce que c’est le nombre de 𝑦. Et étant donné deux vecteurs, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, avec leurs composantes 𝑖 et 𝑗 comme celui-ci, dans ce format, nous pouvons les ajouter ou les soustraire simplement en ajoutant ou en soustrayant leurs composantes 𝑖 et leurs composantes 𝑗, séparément.

Ainsi, par exemple, en ajoutant 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, nous pouvons ajouter les deux et les moins deux 𝑖 et nous pouvons ajouter les moins trois et les quatre 𝑗. Eh bien, dans ce cas, deux plus moins deux 𝑖, c’est zéro 𝑖, nous n’avons donc pas besoin de prendre la peine d’écrire zéro 𝑖. Et moins trois plus quatre sont juste plus un, donc nous nous retrouvons avec une réponse de seulement 𝑗, un 𝑗. Et si nous voulons soustraire les vecteurs 𝐴𝐵 moins 𝐶𝐷, nous avons ici deux des 𝑖 à retirer à moins deux 𝑖, et nous avons eu moins trois moins quatre des 𝑗. Ensuite, deux moins moins deux, deux ajoutent deux, ce qui fait quatre des 𝑖. Et moins trois moins quatre autres, c’est moins sept des 𝑗. Nous ajoutons donc moins sept 𝑗. Donc, nous n’écrivons probablement pas plus moins 𝑗, nous écrivons simplement quatre 𝑖 moins sept 𝑗.

Donc, je l’espère, vous serez à l’aise avec les 𝑖 et 𝑗 vecteurs unité juste pour représenter la coordonnée 𝑥 et la coordonnée 𝑦 de tous les vecteurs que vous rencontrez maintenant.

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