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Vidéo question :: Déterminer le premier terme d’une suite géométrique infinie de raison et de somme données Mathématiques • Deuxième secondaire

Déterminez le premier terme de la suite géométrique infinie dont la raison est 1/4 et la somme est 98 6/7.

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Transcription de la vidéo

Déterminez le premier terme de la suite géométrique infinie dont la raison est un quart et la somme est 98 et six septièmes.

On nous donne deux informations sur cette suite géométrique infinie. Tout d'abord, sa raison est un quart. Il s'agit de la valeur par laquelle on multiplie chaque terme pour obtenir le terme suivant. Ensuite, on nous dit que la somme de cette suite géométrique est 98 et six septièmes. Pour calculer la somme d'une suite géométrique, que nous désignons par 𝑆 avec un indice infini, la formule est 𝑎 un sur un moins 𝑟, où 𝑎 un désigne le premier terme de la suite et 𝑟 désigne la raison.

Cette formule n'est valable que si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à un, ce qui est nécessaire pour que la série soit convergente. La valeur de 𝑟 dans cette question est un quart. Donc on peut effectivement déterminer la somme à l’infini. On peut répondre à cette question alors en substituant la valeur de la somme, qui est 98 et six septièmes, et la valeur de la raison, un quart, puis en résolvant l'équation pour obtenir 𝑎 un, le premier terme de la suite. Donc, 98 et six septièmes est égale à 𝑎 un sur un moins un quart. Un moins un quart est bien sûr égal à trois quarts. Par ailleurs, il peut être préférable d'écrire le nombre 98 et six septièmes sous la forme de la fraction impropre 692 sur sept.

Pour résoudre cette équation pour déterminer 𝑎 un, on doit multiplier les deux membres de l'équation par trois quarts. Ainsi, 𝑎 un égale 692 sur sept fois trois sur quatre. Avant d'évaluer, on peut simplifier par un facteur commun de quatre pour obtenir 173 sur sept fois trois sur un. Et 173 fois trois égale 519. On a donc 𝑎 un égale 519 sur sept.

Ainsi en rappelant la formule de la somme d'une suite géométrique infinie, qui est dans ce cas valable puisque la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à un, nous avons pu former et résoudre une équation pour trouver que le premier terme de cette suite est 519 sur sept.

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