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Vidéo de question : Déterminer les intervalles sur lesquels un polynôme est convexe vers le bas et convexe vers le haut Mathématiques

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 𝑥³ - 11𝑥 + 2 est convexe vers le bas ou convexe vers le haut.

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Transcription de vidéo

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au cube moins 11𝑥 plus deux est convexe vers le bas ou convexe vers le haut.

Bien, avant de pouvoir résoudre ce problème, nous devons d’abord comprendre ce que signifient convexe vers le bas et convexe vers le haut. Eh bien, dans mon croquis, j’ai en fait dessiné une partie de la fonction. Ce qui est mis en évidence en fait, c’est que pour cette fonction, la pente augmente sur cette partie en particulier. C’est parce qu’elle est en fait convexe vers le bas.

Cependant, dans le deuxième croquis, nous pouvons voir qu’elle est convexe vers le haut et donc que si la partie de la fonction que nous examinons est convexe vers le haut, alors la pente diminue. C’est donc la pente qui est ici le terme clé car lorsque nous examinons la pente, nous voulons savoir en fait si elle augmente ou elle diminue. Et pour nous permettre de le faire, ceci nous dit ce que nous devons faire ensuite avec ce problème parce que nous devons trouver la fonction dérivée ou 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.

Donc pour trouver ceci, nous allons déterminer la dérivée de 𝑓 de 𝑥 que j’ai écrite 𝑓 prime de 𝑥. Vous pouvez voir en fait que c’est la même chose que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Mais c’est juste une autre façon de noter ceci. Maintenant, lorsque nous dérivons notre fonction, nous allons obtenir trois 𝑥 au carré moins 11.

Et nous obtenons ceci parce que si nous multiplions notre coefficient de 𝑥 au cube, qui est un, par notre exposant, qui est trois, nous obtenons trois. Et puis nous réduisons l’exposant de un. Cela nous donne deux parce que cela passe de trois à deux. Nous obtenons donc trois 𝑥 au carré. Et puis la dérivée de moins 11𝑥 est simplement moins 11.

Super ! Alors maintenant, nous avons en fait une fonction dérivée. Mais pourquoi est-ce utile ? Ceci pourrait être utile si nous voulions trouver la pente de notre courbe représentative en certains points. Cependant, dans cette question, nous voulons savoir où notre courbe représentative est convexe vers le bas et où elle est convexe vers le haut soit alors où la pente augmente-t-elle ou diminue-t-elle.

Comme nous voulons en fait savoir où la fonction est convexe vers le bas et où elle est convexe vers le haut, j’ai dessiné trois autres croquis pour nous aider à comprendre ce qu’il faut faire par la suite. Le premier croquis est en fait une fonction. J’ai donc choisi une fonction cubique parce que notre fonction dans l’énoncé est cubique.

Comme je l’ai dit, la première courbe représentative est celle d’une fonction cubique. La deuxième courbe représentative est celle de sa dérivée. Elle représente donc la fonction dérivée. Et ce que nous pouvons voir, c’est que dans la portion que j’ai surligné en rose, la pente diminue jusqu’au point que j’ai mis en évidence avec une marque. Et ceci est encore confirmé par notre troisième courbe représentative qui est celle de la dérivée seconde car nous pouvons voir que la dérivée seconde est négative jusqu’à ce point. Donc, la pente diminue en fait.

Nous pouvons voir que dans la deuxième partie de cette fonction, notre pente augmente. Et nous pouvons voir maintenant que si nous regardons la dérivée première à savoir notre fonction de pente qui est la deuxième courbe représentative et la troisième courbe qui est celle de la dérivée seconde, toute cette section est positive.

Donc, puisque nous essayons de déterminer l’intervalle où la pente diminue et celui où elle augmente, soit l’intervalle où la fonction est convexe vers le haut et celui où elle est convexe vers le bas, il y a un point clé. Et c’est ce point clé que j’ai entouré en orange. Si vous regardez le premier, le deuxième et le troisième graphique, c’est le troisième graphique. Nous pouvons voir que c’est le point où notre dérivée seconde s’annule parce que c’est là que la pente passe de décroissante à croissante.

Donc, pour trouver cette valeur, mettons notre dérivée seconde égale à zéro. Mais pour écrire que notre dérivée seconde est égale à zéro, nous devons d’abord la trouver. Et nous le faisons en dérivant notre dérivée première qui est trois 𝑥 au carré moins 11. Lorsque nous dérivons ceci, nous nous retrouvons avec six 𝑥.

Alors maintenant, ce que nous allons faire c’est de trouver la valeur de 𝑥 qui annule notre dérivée seconde, le point que nous avons mis en évidence sur notre courbe représentative. Nous avons donc que zéro est égal à six 𝑥. Eh bien, maintenant pour résoudre ceci, nous pouvons voir clairement que 𝑥 est égal à zéro. Et c’est le point clé parce que c’est le point que nous avons marqué sur la courbe représentative comme je l’ai dit. Et ce sera en fait notre point d’inflexion.

C’est donc là que nous allons passer de convexe vers le haut à convexe vers le bas. Alors maintenant, si nous considérons ce que nous avons, nous avons notre point zéro. Voilà donc notre point d’inflexion. Et puis on peut dire que tout ce qui est à gauche jusqu’à moins l’infini va être convexe vers le haut. Donc, c’est en fait là où notre pente diminue. Et tout ce qui est à droite sera positif, donc convexe vers le bas, car c’est là que notre pente augmente.

Cependant, nous voulons vérifier ceci. Et pour ce faire, nous allons en fait remplacer par des valeurs de chaque côté de notre zéro pour voir si elles correspondent réellement à ce que nous pensons être convexe vers le bas et convexe vers le haut.

Je vais donc commencer par remplacer 𝑥 par un dans notre dérivée seconde de notre fonction. Nous allons donc obtenir que la dérivée seconde est égale à six multiplié par un, ce qui nous donne six qui est positif. Génial ! Cela montre en fait que c’est correct. Donc, notre point d’inflexion en zéro semble fonctionner car un nombre juste à droite nous donne une dérivée seconde positive. Ça va donc être convexe. Et la pente augmente.

Alors, nous allons maintenant remplacer 𝑥 par moins un parce que ce nombre est inférieur à notre valeur zéro. Donc, notre dérivée seconde est égale à six multiplié par moins un, ce qui nous donne moins six qui est également une valeur négative.

La fonction va donc être convexe vers le haut sur l’intervalle allant de moins l’infini à zéro. Vous voyez donc que tout ce qui est inférieur à zéro va en fait nous donner un point où la pente diminue. Par conséquent, nous allons être convexe vers le haut et serons convexe vers le bas sur l’intervalle allant de zéro à l’infini parce que nous pouvons voir que tout ce qui est à droite de notre point zéro c’est à dire notre point d’inflexion, sera en fait là où la pente augmente et donc où c’est convexe vers le bas.

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