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Vidéo question :: Déterminer l’inégalité représentée par un graphique donné Mathématiques • Première secondaire

Déterminez l’inéquation dont l’ensemble solution est représenté par la partie colorée.

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Déterminez l’inéquation dont l’ensemble solution est représenté par la partie colorée.

Comme la droite sur le graphique est en pointillés, nous savons que cela correspond à une inégalité du type strictement supérieur ou strictement inférieur. On utilise une ligne en pointillés pour représenter des inégalités strictes car les points sur la droite elle-même ne sont pas inclus dans l’ensemble solution. La première étape ici est de déterminer l’équation de la droite et nous savons qu’elle sera de la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑏 est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des 𝑦 et 𝑚 est la pente, ou le gradient.

Si nous choisissons deux points sur la droite, nous pouvons calculer la pente en calculant la différence entre les coordonnées 𝑦 et en la divisant par la différence entre les coordonnées 𝑥. C’est la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥. La pente, ou le gradient, 𝑚 est égal à 𝑦 deux moins 𝑦 un divisé par 𝑥 deux moins 𝑥 un. Même si ce n’est pas obligatoire, il est plus pratique de sélectionner deux points avec des coordonnées entières. Dans ce cas, nous allons choisir les deux points cinq, six et moins cinq, moins neuf. Nous allons appeler les coordonnées du premier point 𝑥 un, 𝑦 un et ceux du deuxième point 𝑥 deux, 𝑦 deux.

En remplaçant les valeurs, 𝑚 est égal à moins neuf moins six divisé par moins cinq moins cinq. Cela se simplifie en moins 15 sur moins 10. Et en divisant le numérateur et le dénominateur par moins cinq, nous obtenons que la pente de la droite est égale à trois sur deux ou trois demis. Cela signifie que la droite a pour équation 𝑦 égale trois demis de 𝑥 plus 𝑏. Nous pouvons voir sur le graphique que la droite coupe l’axe des 𝑦 en moins 1,5 ou moins trois demis. Nous pouvons vérifier cela en remplaçant les coordonnées d’un des points connus dans l’équation. En remplaçant les coordonnées du point cinq, six, nous obtenons six est égal à trois demis multipliés par cinq, plus 𝑏.

Le membre de droite se simplifie en 15 sur deux soit 7,5 plus 𝑏. En soustrayant 15 sur deux des deux côtés de l’équation, nous obtenons que 𝑏 est en effet égal à moins trois demis, soit moins 1,5. L’ordonnée à l’origine est égale à moins trois demis. Nous avons maintenant notre équation écrite sous forme réduite. Nous voyons sur le graphique que tous les points de la zone colorée se trouvent au-dessus de cette droite, par exemple, moins deux, huit.

Pour déterminer quel symbole d’inégalité utiliser, nous pouvons remplacer ces coordonnées dans notre équation. Nous pouvons alors déterminer lequel du membre de gauche ou de droite est le plus grand. Comme 𝑥 est égal à moins deux et 𝑦 est égal à huit, le membre de gauche donne huit et le membre de droite est égal à trois demis multipliés par moins deux, moins trois demis.

Le membre de droite se simplifie en moins trois moins trois demis. Ceci est égal à moins neuf sur deux ou moins 4,5. Huit est clairement plus grand que cette valeur. Par conséquent, le membre de gauche est plus grand que le membre de droite. Nous pouvons répéter cela pour tout autre point de la zone colorée et nous obtenons que 𝑦 est supérieur à trois demis de 𝑥 moins trois demis.

Même si la forme réduite est parfaitement acceptable, dans cette question, nous allons modifier l’inéquation pour lui donner une forme plus générale. Nous commençons par multiplier les deux côtés de l’inéquation par deux. Deux 𝑦 est donc supérieur à trois 𝑥 moins trois. Ensuite, nous pouvons soustraire trois 𝑥 des deux côtés. Cela nous donne l’inéquation deux 𝑦 moins trois 𝑥 supérieure à moins trois.

L’inéquation dont l’ensemble solution est représenté par la zone colorée est deux 𝑦 moins trois 𝑥 supérieur à moins trois.

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