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Vidéo de la leçon : Angles en position standard Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les angles en position standard, et à déterminer les mesures positives et négatives de leurs angles équivalents.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les angles en position standard, et à déterminer les mesures positives et négatives de leurs angles équivalents. Nous allons faire référence aux quatre quadrants tout au long de cette leçon, nous allons donc nous rappeler ce qu’on entend par ceux-ci. On divise le repère en quatre quarts appelés quadrants. On les étiquète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre avec des chiffres romains, avec ce quadrant étant le premier, celui-ci le deuxième, celui-ci le troisième et celui-ci le quatrième.

Nous sommes probablement habitués à mesurer les angles en degrés, de sorte qu’un tour complet est égale à 360 degrés. Maintenant, bien que ce ne soit pas un prérequis pour comprendre cette vidéo, il convient de noter qu’on peut aussi mesurer les angles en radians dans ce cas, un tour complet, 360 degrés, est égale à deux 𝜋 radians. Donc, cette leçon porte sur les angles en position standard. Mais qu’est-ce que cela signifie réellement ? Un angle est dit en position standard si son sommet est situé à l’origine et qu’un côté est situé sur la partie positive de l’axe des abscisses. Le côté qui est sur l’axe des abscisses est appelé le côté initial, et l’autre côté est le côté final.

On dit aussi que si le côté final d’un angle est sur un des axes, par exemple à 90 degrés ou à 180 degrés, il s’agit d’un angle quadrant. On mesure l’angle par la quantité de rotation du côté initial vers le côté final. Si on mesure l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on dit que la mesure est positive. Mais si on mesure l’angle dans le sens des aiguilles d’une montre, on dit que la mesure est négative.

Notre définition finale se réfère à deux angles qui sont en position standard et ont le même côté final, et ceux-ci sont appelés équivalents, nous pouvons donc voir sur le schéma ici que 60 degrés et moins 300 degrés sont des angles équivalents. Alors, voyons comment identifier si les angles sont en position standard.

L’angle est-il en position standard ?

Un angle est dit en position standard si son sommet est situé à l’origine et qu’un côté, que nous appelons le côté initial, se trouve sur la partie positive de l’axe des abscisses. Maintenant, notre angle est limité par les côtés surlignés en jaune. Nous voyons en effet que l’un des côtés se trouve sur la partie positive de l’axe des abscisses et que le sommet semble être à l’origine. Nous savons également que c’est bien le côté initial de notre angle qui se trouve sur la partie positive de l’axe des abscisses plutôt que le côté final. Et c’est parce que nous avons une flèche qui nous indique le sens.

Si la flèche pointait dans le sens opposé, nous ne pourrions pas en fait dire que l’angle est en position standard car le côté initial ne se trouverait pas sur la partie positive de l’axe des abscisses. Et donc, nous voyons que l’angle donné remplit tous nos critères pour être en position standard. Et la réponse est oui.

L’angle est-il en position standard ?

Rappelons que, un angle est en position standard si son sommet est situé à l’origine et qu’un côté, le côté initial, se trouve sur la partie positive de l’axe des abscisses. Notre angle est l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre les deux cotés surlignés en jaune. L’un de ces côtés se situe en effet sur la partie positive de l’axe des abscisses. Et en fait, nous pouvons voir qu’il s’agit du côté initial parce qu’on nous donne le sens dans lequel on mesure l’angle. Nous pouvons également voir que le sommet, le point où nos côtés initial et final se rencontrent, est à l’origine. Ainsi, notre angle remplit tous les critères requis pour être considéré comme étant en position standard. Et la réponse est oui.

Voyons maintenant un exemple défini par un couple.

Le couple défini par la demi-droite qui relie 𝐶 à 𝐴 et la demi-droite qui relie 𝐶 à 𝐷 représente-t-il un angle en position standard ?

Nous savons que pour qu’un angle soit en position standard, son sommet doit être centré à l’origine et le côté initial doit être situé sur la partie positive de l’axe des abscisses. Maintenant, notre angle est défini par ce couple. Nous avons donc la demi-droite qui relie 𝐶 et 𝐴 et la demi-droite qui relie 𝐶 et 𝐷. La demi-droite qui relie 𝐶 à 𝐴 est celle-ci, et se trouve en effet sur la partie positive de l’axe des abscisses. Nous savons que c’est le côté initial de notre angle, car il est mentionné en premier. Alors la demi-droite qui relie 𝐶 à 𝐷 est celle-ci, ce qui signifie que l’angle qui nous intéresse est celui-ci. Mais le sommet est-il à l’origine ? Eh bien, non, le sommet est quelque part ici. C’est en quelque sorte sur la partie positive de l’axe des abscisses Ainsi, le couple défini par la demi-droite qui relie 𝐶 à 𝐴 et la demi-droite qui relie 𝐶 à 𝐷 ne représente pas un angle en position standard. Et la réponse est non.

Il y a cependant quelques angles qui sont en position standard ici. Le premier serait donné par le couple défini par la demi-droite qui relie 𝑂 à 𝐶 et la demi-droite qui relie 𝑂 à 𝐸. La demi-droite 𝑂𝐶 se trouve sur la partie positive de l’axe des abscisses, et le sommet est centré à l’origine. De même, nous pourrions commencer par le même côté initial, et c’est la demi-droite qui relie 𝑂 à 𝐶, et mesurer jusqu’à la demi-droite qui relie 𝑂 à 𝐺. Le sommet de cet angle est toujours situé à l’origine, et donc l’angle est également en position standard.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment déterminer la valeur des angles équivalents.

Déterminez la mesure positive de l'angle associé à l'angle illustré.

Rappelons que lorsqu’on pense aux angles en position standard, l’angle est défini par la quantité de rotation du côté initial au côté final. Si on mesure l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on considère que la mesure est positive. Et si on mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, on considère que la mesure est négative. On dit également que si deux angles en position standard ont le même côté final, ils sont des angles équivalents. Et donc ici, nous avons moins 340 degrés. Et bien sûr, puisque c’est négatif, on mesure dans le sens des aiguilles d’une montre.

Pour trouver la mesure de l’angle équivalent, on doit identifier où se trouve le côté final. Le côté final est celui-ci. Et donc, pour trouver l’angle positif associé, on doit trouver la mesure de cet angle ci, cet angle aigu. Et donc utilisons un des propriétés clé sur les angles. Nous savons que la somme des angles autour d’un point est égale à 360 degrés. Et donc nous prenons la mesure de l’angle rentrant comme étant égale à 340 degrés — rappelons que, le signe négatif nous indique simplement le sens — et nous allons soustraire sa valeur de 360. 360 moins 340 est égal à 20 degrés. Puisqu’on mesure cet angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de son côté initial, on dit qu’il est positif. Et donc l’angle positif associé à l’angle qui nous a été donné est de 20 degrés.

Maintenant que nous avons vu comment trouver la valeur des angles équivalents, essayons de déterminer plusieurs angles équivalents.

Trouvez un angle équivalent de mesures positive et négative pour 340 degrés.

Rappelons que, lorsqu’on pense aux angles dans une position standard, l’angle est la quantité de rotation du côté initial au côté final. Si on mesure l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on considère que la mesure est positive. Et si on mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, la mesure est négative. Maintenant, on dit également que si deux angles en position standard ont le même côté final, ils sont appelés angles équivalents. Alors, traçons d’abord l’angle 340 degrés.

Le sommet de notre angle doit être situé à l’origine, et son côté initial doit se trouver sur la partie positive de l’axe des abscisses. Donc, c’est le côté jaune indiqué. C’est plus 340 degrés, nous allons donc mesurer 340 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Un tour complet, bien sûr, est de 360 degrés. C’est donc un peu moins qu’une tour complète. Et donc notre angle en position standard ressemblera un peu à ceci. Nous devons trouver un autre angle équivalent positif et un angle équivalent négatif. Nous allons commencer avec l’angle équivalent négatif car il est un peu plus facile à calculer.

Puisqu’on mesure du côté initial au côté final mais nous voulons que la mesure soit négative, nous allons mesurer dans le sens des aiguilles d’une montre. C’est tout simplement d’ici à ici. Et donc nous allons soustraire l’angle qui nous a été donné, 340 degrés, de la quantité de degrés dans un tour complet, c’est-à-dire 360. 360 moins 340 est égal à 20 ou 20 degrés. Donc, l’angle est de 20 degrés. Mais puisque nous le mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre, nous disons que c’est moins 20 degrés.

Voilà donc notre angle équivalent négatif. Mais comment trouver l’angle positif ? Eh bien, en fait, ce que nous allons faire, c’est compléter le tour de 340 degrés, puis nous allons faire un autre tour complet. Ce faisant, nous nous retrouvons au même côté final. Et donc pour trouver la valeur de cet angle équivalent positif, nous allons ajouter un tour complet au premier tour. Donc, 340 plus ce tour complet, 360 degrés. 340 plus 360 est égal à 700. Et bien sûr, nous mesurons cela dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, c’est donc plus 700 degrés. Donc, les angles équivalents de mesure positive et négative pour 340 degrés sont 700 degrés et moins 20 degrés.

Et, bien sûr, il s’ensuit que nous pourrions continuer à ajouter des tours complets et nous retrouver toujours sur ce côté final. Cela signifie qu’il existe en fait un nombre infini de variations pour l’angle équivalent de mesures positive et négative.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment identifier le quadrant dans lequel se trouve un angle en position standard.

Dans quel quadrant se situe l’angle de mesure moins 242 degrés ?

Rappelons que, si on considère le repère cartésien, on peut le diviser en quatre quarts, appelés quadrants. On les étiquète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre avec des chiffres romains. On dit que ce quadrant est le premier quadrant. Nous avons le deuxième ici. Le troisième se trouve ici. Et voici le quatrième quadrant. Alors, dans quel quadrant se situe l’angle de mesure moins 242 degrés ?

Eh bien, pour le savoir, nous allons commencer par ajouter le côté initial de notre angle sur le repère. Le sommet de notre angle doit se trouver à l’origine et son côté initial doit être situé sur la partie positive de l’axe des abscisses comme indiqué. Puisque l’angle est négatif, nous devons mesurer dans le sens des aiguilles d’une montre. Nous le ferons par intervalles de 90 degrés. 90 degrés nous amène à cette droite ici. Ensuite, un autre 90 degrés font un demi-tour. Ce qui fait 180 degrés. Et notre côté final se trouverait sur la partie négative de l’axe des abscisses. Si nous augmentons encore 90 degrés, cela nous amènerait à 270 degrés.

Et en fait, bien sûr, puisque nous mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre, ils devraient tous être négatifs. Mais nous voulons seulement 242 degrés. Et donc nous n’allons pas compléter ce dernier quart de tour. On peut donc dire que l’angle moins 242 degrés se situe dans le deuxième quadrant.

Récapitulons les points clés de cette leçon. Un angle est dit en position standard si son sommet est situé à l’origine et qu’un côté est situé sur la partie positive de l’axe des abscisses. Le côté qui se trouve sur l’axe des abscisses est le côté initial. Et l’autre côté qui forme l’angle est le côté final. On définit également un angle quadrant qui est composé d’un angle dans lequel le côté final se trouve sur l’un des axes, par exemple à 270 degrés ou 360 degrés. Ensuite, l’angle est mesuré par la quantité de rotation du côté initial vers le côté final. Et si on mesure dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, cette mesure est positive. Si on mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, la mesure est négative.

Enfin, nous avons dit que si deux angles en position standard ont le même côté final, alors ces angles sont équivalents.

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