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Vidéo de question : Calcul de la distance entre un point et un plan Mathématiques

Lequel de ces choix est la distance, au centième près, entre le point de coordonnées (3, −4, 5) et le plan d’équation (4𝑥/21) + (8𝑦/21) + (5𝑧/21) = 1 ? [A] 0,64 [B] 0,39 [C] 1,56 [D] 6,10 [E] 3,88

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Transcription de vidéo

Lequel de ces choix est la distance, au centième près, entre le point de coordonnées trois, moins quatre, cinq et le plan d’équation quatre 𝑥 sur 21 plus huit 𝑦 sur 21 plus cinq 𝑧 sur 21 égale un ? Réponse (A) 0,64, réponse (B) 0,39, réponse (C) 1,56, réponse (D) 6,10 ou réponse (E) 3,88.

Dans cette question, nous cherchons la distance entre un point et un plan. Rappelons que la distance d’un point à un plan correspond à leur distance perpendiculaire, puisque c’est la distance la plus courte entre les deux objets. Il existe une formule qui donne cette distance perpendiculaire. Pour le point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le plan d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro, leur distance perpendiculaire 𝐷 est égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐𝑧 un plus 𝑑 sur la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré.

Mais avant d’utiliser cette formule, nous remarquons que l’équation du plan n’est pas sous la forme demandée. Nous pourrions retrancher un de chaque côté, mais il est plus simple de tout multiplier par 21. Faisons-le. La première étape est de multiplier par 21. Cela donne quatre 𝑥 plus huit 𝑦 plus cinq 𝑧 égale 21. Ensuite, il nous faut une équation égale à zéro. Ainsi, retranchons 21 de chaque côté. Ceci donne une équation du plan dont nous pouvons extraire les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.

Donnons ces valeurs que nous allons utiliser. 𝑎 est égal à quatre, 𝑏 est égal à huit, 𝑐 est égal à cinq et 𝑑 est égal à moins 21. Les coordonnées du point nous donneront les valeurs restantes. Ainsi, 𝑥 indice un égale trois, 𝑦 indice un égale moins quatre, et 𝑧 indice un égale cinq. Nous pouvons maintenant utiliser la formule. Nous obtenons que 𝐷 est égal à la valeur absolue de quatre fois trois plus huit fois moins quatre plus cinq fois cinq plus moins 21 sur la racine carrée de quatre au carré plus huit au carré plus cinq au carré.

Nous simplifions, le côté droit est égal à la valeur absolue de 12 moins 32 plus 25 moins 21 sur la racine carrée de 16 plus 64 plus 25. Cela donne la valeur absolue de moins 16 sur la racine carrée de 105. La valeur absolue de moins 16 est 16, et nous avons donc 16 sur la racine carrée de 105. Puisqu’on nous demande une réponse avec deux décimales, nous utilisons la calculatrice pour connaître la forme décimale de cette valeur. Nous obtenons 1,5614 etc.

En arrondissant à deux décimales, nous trouvons 1,56. Puisque la distance perpendiculaire est une longueur, nous pouvons indiquer l’unité de longueur. La réponse est donc la proposition (C), la distance entre ce point et ce plan est 1,56.

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