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Vidéo de question : Comparer la vitesse des particules en fonction de leur longueur d’onde de Broglie Physique

Si un muon et un proton ont la même longueur d’onde de Broglie, quelle particule a la plus grande vitesse ?

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Transcription de vidéo

Si un muon et un proton ont la même longueur d’onde de Broglie, quelle particule a la plus grande vitesse ?

Pour répondre à cette question, il faut savoir comment exprimer la longueur d’onde de Broglie d’une particule en fonction de sa vitesse et aussi des propriétés particulières de cette particule comme, par exemple, sa masse. En général, la longueur d’onde de Broglie d’une particule est égale à la constante de Planck divisée par la quantité de mouvement de la particule. On sait que pour les particules ayant une masse, comme les muons et les protons, leur quantité de mouvement est liée à leur vitesse. Donc, cette relation nous donne quasiment notre réponse. En particulier, en utilisant ce que l’on sait au sujet de la longueur d’onde de Broglie de notre muon et de notre proton, on peut utiliser cette formule pour relier leurs quantités de mouvement puis relier leurs vitesses.

On peut écrire la longueur d’onde du muon comme 𝜆 moins est égal à ℎ divisé par 𝑝 moins et la longueur d’onde du proton comme 𝜆 plus est égal à ℎ divisé par 𝑝 plus. Ici, on a utilisé les indices moins et plus pour représenter le muon et le proton car la charge du muon est négative et la charge du proton est positive. On n’a pas utilisé de lettres pour éviter toute confusion avec les lettres qui font déjà partie de notre formule. On nous dit dans la question que les deux particules ont la même longueur d’onde de Broglie. Autrement dit, 𝜆 plus est égal à 𝜆 moins. En exprimant cette égalité en termes de quantités de mouvement avec la relation de de Broglie, on obtient que ℎ divisée par 𝑝 moins est égal à ℎ divisée par 𝑝 plus.

Puisque les deux côtés de cette égalité ont le même numérateur, les dénominateurs doivent également être les mêmes. C’est-à-dire que le muon et le proton doivent avoir exactement la même quantité de mouvement. Or, pour les particules de masse, il existe deux formules pour calculer les quantités de mouvement. Pour les particules non relativistes, la quantité de mouvement est la masse au repos multipliée par la vitesse. Et pour les particules relativistes, la quantité de mouvement est le facteur gamma relativiste multiplié par la masse au repos multiplié par la vitesse. Quelle que soit la formule appliquée, on voit que les particules ayant des masses au repos plus grandes ont des quantités de mouvement plus grandes et celles ayant des vitesses plus grandes ont des quantités de mouvement plus grandes.

De plus, on rappelle que la masse au repos d’un proton est environ 10 fois plus grande que la masse au repos d’un muon. Puisque le proton est plus massif que le muon, pour que la quantité de mouvement du muon soit égale à la quantité de mouvement du proton, la vitesse du proton doit être inférieure à la vitesse du muon. De cette façon, la plus petite vitesse du proton compensera pour sa masse plus élevée lors du calcul de la quantité de mouvement. Et l’inverse est également vrai. La plus grande vitesse du muon compensera pour sa masse plus petite. Le résultat final de ces deux effets de compensation est que l’on peut se retrouver avec deux quantités de mouvement identiques. On peut donc conclure que le muon a la plus grande vitesse.

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