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Vidéo de question : Former et simplifier des fonctions composées impliquant des racines et des polynômes Mathématiques

Sachant que 𝑓 (𝑥) = racine cinquième de 𝑥 et 𝑔 (𝑥) = (𝑥 + 46) ⁵, déterminez puis simplifiez une expression pour (𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥).

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑓 de 𝑥 égale racine cinquième de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 plus 46, à la puissance cinq, déterminez puis simplifiez une expression pour 𝑓 de 𝑔 de 𝑥.

Commençons par rappeler ce que nous entendons par cette notation qui se lit 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Elle signifie que nous prenons une valeur d’entrée 𝑥, que nous lui appliquons la fonction 𝑔 et puis que nous appliquons la fonction 𝑓 au résultat. Cela s’appelle une fonction composée. Nous appliquons une fonction puis une autre.

Nous voulons trouver une expression algébrique pour cette fonction composée et ensuite la simplifier. Voyons donc à quoi ceci ressemble. Nous commençons par appliquer la fonction 𝑔. La fonction 𝑔 de 𝑥 prend une valeur d’entrée, lui ajoute 46, puis élève le tout à la puissance cinq. Nous avons donc que 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus 46 à la puissance cinq. Nous allons ensuite appliquer la fonction 𝑓, ce qui signifie que nous prenons cette expression de 𝑔 de 𝑥 comme valeur d’entrée de la fonction 𝑓. Ainsi, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 plus 46 à la puissance cinq. Maintenant, 𝑓 est la fonction qui prend la racine cinquième de la valeur d’entrée. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 plus 46 à la puissance cinq est égal à la racine cinquième de 𝑥 plus 46 à la puissance cinq.

Nous avons maintenant trouvé une expression pour 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, mais nous devons la simplifier. Eh bien, nous savons que lever une valeur ou une expression à la puissance cinq et ensuite prendre la racine cinquième sont des opérations réciproques. Donc, si nous appliquons ceci à l’expression 𝑥 plus 46, nous revenons à nouveau à l’expression 𝑥 plus 46. Nous pouvons démontrer ceci un peu plus rigoureusement en utilisant les propriétés des exposants. Une racine 𝑛ième peut être écrite comme une puissance élevée à un exposant égal à l’inverse de 𝑛. La 𝑛ième racine de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance un sur 𝑛. Ainsi, appliquer la racine cinquième revient à élever à la puissance un cinquième. Nous obtenons par conséquent 𝑥 plus 46 à la puissance cinq à la puissance un cinquième.

On peut alors rappeler que si 𝑛 est impair alors 𝑥 à la puissance 𝑛 à la puissance un sur 𝑛 est égal à 𝑥, ce que nous trouvons en multipliant les exposants entre eux. Si 𝑛 est pair, nous devons être un peu plus prudents. Et dans ce cas nous avons que 𝑥 à la puissance 𝑛 à la puissance un sur 𝑛 est égal à la valeur absolue de 𝑥. Mais comme nous avons ici une valeur impaire pour 𝑛, puisque 𝑛 est égal à cinq, cela ne s’applique pas.

Nous avons donc trouvé qu’une expression simplifiée pour la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est 𝑥 plus 46.

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