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Vidéo de question : Détermination du temps pris par un corps sur un plan incliné lisse pour monter et descendre en fonction de sa vitesse initiale Mathématiques

Un objet est lancé avec une vitesse de 16 m/s vers le haut d’un plan lisse incliné d’un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale, où sin 𝛼 = 45/49. Déterminez le temps que le corps met pour retourner au point duquel il a été lancé. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Un corps a été lancé à 16 mètres par seconde sur un plan lisse incliné d’un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale, où sin 𝛼 est de 45 sur 49. Déterminez le temps que le corps a mis pour revenir au point de projection. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Pour répondre à une question comme celle-ci, on commence par tracer un schéma. On a un plan lisse incliné d’un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale. Alors, le fait que le plan soit lisse nous indique qu’il n’y a pas de forces de frottement agissant sur le corps. On nous dit aussi que le sin de 𝛼 est égal à 45 sur 49. Alors, ce qu’on ne va pas faire, c’est d’utiliser cette équation pour calculer la valeur de 𝛼. Au lieu de cela, on va tracer un petit triangle rectangle avec un angle inclus de 𝛼. On sait que le sin de 𝛼 est le côté opposé sur l’hypoténuse, donc le côté opposé dans ce triangle doit être de 45 unités et l’hypoténuse doit être de 49 unités.

Ensuite, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur du côté manquant. Ce théorème dit que la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Donc, si on appelle le côté qu’on cherche à calculer comme 𝑎 unités, on obtient 𝑎 au carré plus 45 au carré égale 49 au carré. C’est-à-dire 𝑎 au carré plus 2025 est égal à 2401. Ensuite, on soustrait 2025 des deux côtés, donc 𝑎 au carré est 376, ce qui signifie que 𝑎 est la racine carrée de cette valeur. C’est deux fois la racine de 94. Alors, c’est vraiment utile car on connait maintenant la longueur du côté adjacent. Et cela nous permettra de calculer des valeurs exactes pour cos 𝛼 et d’ailleurs pour tan 𝛼, si on en a besoin aussi.

Mais revenons à notre schéma. Le corps est projeté sur un plan lisse. Alors, cela signifie que le corps exerce une force vers le bas sur le plan en raison de son poids. La force vers le bas est la masse multipliée par l’accélération de la pesanteur. Appelons cela 𝑚𝑔 puisque on n’a pas la masse du corps. On nous dit que 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde carrée. Mais on va le laisser comme 𝑔 pour l’instant. Il n’y a qu’une seule force de plus qui nous intéresse. Et c’est la force de réaction normale du plan sur le corps. Rappelons-nous, cela agit perpendiculairement au plan. Alors, qu’est-ce qui se passera ensuite ? Eh bien, on nous donne une vitesse initiale. On peut appeler cela 𝑢 ou 𝑣 indice zéro. Et cela équivaut à 16 mètres par seconde.

On essaie de trouver le temps nécessaire au corps pour revenir au point de projection. Donc, ce qu’on va faire, c’est commencer par trouver le temps nécessaire pour que le corps soit au repos, en d’autres termes, lorsque sa vitesse finale 𝑣 est égale à zéro. Et pour ce faire, on doit calculer l’accélération. Et donc, on va utiliser la formule 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. La force est la masse multipliée par l’accélération. On va effectuer ce calcul dans la direction parallèle au plan. Et donc, on trace un triangle rectangle attaché à la force représentant le poids du corps. Et on doit tracer ce triangle parce que cette force agit verticalement vers le bas, ni parallèle ni perpendiculaire au plan. La composante du poids qui agit parallèlement au plan est le côté que j’ai appelé 𝑥. Et on a aussi cet angle inclus. Cet angle est 𝛼.

On revient à la convention sur l’étiquetage de nos triangles, et on voit qu’on cherche à trouver le contraire. Et on connait l’hypoténuse ou du moins on a une expression pour l’hypoténuse en fonction de 𝑚. sin 𝛼 est le côté opposé sur l’hypoténuse, donc sin 𝛼 est 𝑥 sur 𝑚𝑔. En multipliant les deux côtés de cette équation par 𝑚𝑔, on obtient 𝑥 est égal à 𝑚𝑔 sin 𝛼. sin 𝛼 est 45 sur 49, donc on obtient 𝑥 est égal à 45 sur 49 𝑚𝑔. Ensuite, le corps se déplace vers le haut du plan, donc on va définir ce sens comme positif. La force agit dans le sens opposé, de sorte que la force résultante qui agit parallèlement au plan est moins 45 sur 49 𝑚𝑔. C’est égal à la masse multipliée par l’accélération, 𝑚𝑎.

Et ensuite, on s’aperçoit qu’on peut diviser par 𝑚. Alors, rappelons-nous, on ne peut diviser par une variable qu’on ne pas sûrs qu’elle n’est pas égale à zéro. Cela représente une masse, donc ce n’est absolument pas possible. Et finalement on a trouvé l’accélération du corps. C’est moins 45 sur 49 𝑔 mètres par seconde carrée. Alors, il est en effet très logique que l’accélération soit négative. Aucune force n’aide à déplacer le corps vers le haut du plan, donc on suppose qu’il ralentit. Ensuite, on n’a pas vraiment besoin de calculer la valeur de cos 𝛼. Et ainsi, on peut se débarrasser du triangle rectangle. Il est toujours judicieux de les construire lorsque des valeurs sont données pour sin 𝛼, cos 𝛼 ou tan 𝛼 car cela peut faciliter les calculs plus tard.

Alors on a dit qu’on va commencer par calculer le temps nécessaire pour que le corps atteigne une vitesse nulle. Ainsi, sa vitesse initiale 𝑢 était de 16 mètres par seconde, et sa vitesse finale 𝑣 est nulle. Son accélération est moins 45 sur 49 𝑔. Et nous cherchons 𝑡. Et donc, on va maintenant utiliser l’une des équations d’accélération constante. Celui que nous recherchons qui relie 𝑢, 𝑣, 𝑎 et 𝑡 est 𝑣 est égal à 𝑢 plus 𝑎𝑡. On remplace les valeurs qu’on connait dans cette formule, et on obtient l’équation zéro égale 16 moins 45 sur 49 𝑔𝑡. On va d’abord ajouter 45 sur 49 𝑔𝑡 aux deux côtés, puis en divisant par 45 sur 49 𝑔 ou 45 sur 49 fois 9,8.

Et ainsi, on voit que le temps nécessaire au corps pour atteindre une vitesse de zéro est de 16 sur neuf secondes. Alors, comment cela nous aide-t-il à calculer le temps total nécessaire au corps pour revenir à son point de départ ? Eh bien, dans un monde mathématiquement parfait - c’est-à-dire dans lequel, dans ce cas, il n’y a pas de frottement ni de résistance à l’air ou quelque chose comme ça - le temps nécessaire pour atteindre ce point où 𝑣 est égal à zéro sera exactement le même temps qu’il faut pour revenir du sommet au point de départ. Et donc, appelons le temps total comme T majuscule. Et on sait bien qu’on va doubler 16 sur neuf. 16 sur neuf fois deux est 32 sur neuf, donc on peut dire que le temps total nécessaire au corps pour revenir au point de projection est de 32 sur neuf secondes.

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