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Vidéo de question : Déterminer des limites avec des fonctions trigonométriques Mathématiques

Calculez lim_(𝑥 → 𝜋/6)(9(𝜋 - 6𝑥))/(tan 6𝑥).

04:47

Transcription de vidéo

Trouvez la limite quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur six de neuf fois 𝜋 moins six 𝑥 sur tangente six 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de calculer la limite du quotient d’une fonction affine par une fonction trigonométrique. Et puisque nous pouvons calculer ces deux limites en utilisant la substitution directe, nous pouvons essayer d’évaluer cette limite en utilisant la substitution directe. En substituant 𝑥 est égal à 𝜋 sur six dans notre fonction, nous obtenons neuf multiplié par 𝜋 moins six fois 𝜋 par six le tout divisé par la tangente de six fois 𝜋 par six. Et six fois 𝜋 sur six est juste égal à 𝜋, donc notre numérateur se simplifie pour nous donner neuf fois 𝜋 moins 𝜋, ce qui est égal à zéro. Et notre dénominateur se simplifie pour nous donner tangente 𝜋, qui est également nul. Par conséquent, la méthode de substitution directe nous donne la forme indéterminée zéro sur zéro.

Nous allons donc devoir calculer cette limite différemment. Comme il s’agit de la limite du quotient d’une fonction affine par une fonction trigonométrique, une façon de faire est d’utiliser les résultats remarquables des limites de fonctions trigonométriques. Nous rappelons que pour toute constante réelle 𝑎, la limite quand 𝑥 tend vers zéro de la tangente de 𝑎 𝑥 le tout divisé par 𝑥 est égal à 𝑎. Mais, nous ne pouvons pas appliquer directement ce résultat sur la limite pour plusieurs raisons. Premièrement, nous n’avons pas la limite quand 𝑥 tend vers zéro; nous avons la limite quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur six. Deuxièmement, nous avons la tangente de six 𝑥 au dénominateur. Et, dans notre résultat sur la limite, la tangente de 𝑎𝑥 est au numérateur.

Cependant, nous pouvons résoudre ce problème en plusieurs étapes. Premièrement, pour obtenir la tangente de six 𝑥 au dénominateur, nous prenons simplement l’inverse des deux côtés de l’équation. En prenant l’inverse des deux côtés, en appliquant la règle des puissances pour les limites, nous obtenons que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 divisé par la tangente de 𝑎𝑥 est égal à un sur 𝑎 pour toute constante réelle 𝑎 non nulle. Cependant, nous prenons toujours la limite quand 𝑥 tend vers zéro. Et dans notre limite, nous cherchons une limite quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur six. Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant une substitution. Nous allons définir 𝑦 égale 𝑥 moins 𝜋 sur six.

Maintenant, alors que nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de 𝜋 sur six, 𝑥 moins 𝜋 sur six se rapproche de plus en plus de zéro. Ainsi, nos valeurs de 𝑦 se rapprocheront de zéro. Nous voulons maintenant substituer cela dans notre expression. Pour ce faire, nous allons devoir trouver une expression pour 𝑥 en fonction de 𝑦. Et nous pouvons le faire en additionnant 𝜋 sur six des deux côtés de notre substitution. Nous obtenons que 𝑥 est égal à 𝑦 plus 𝜋 sur six. En substituant cela dans notre expression, nous obtenons la limite quand 𝑦 tend vers zéro de neuf fois 𝜋 moins six fois 𝑦 plus 𝜋 sur six, le tout divisé par la tangente de six fois 𝑦 plus 𝜋 sur six.

Et nous pouvons simplifier cela. Tout d’abord, nous commencerons par distribuer le moins six dans notre numérateur et le six dans notre dénominateur. Cela nous donne la limite quand 𝑦 tend vers zéro de neuf fois 𝜋 moins six 𝑦 moins 𝜋 divisé par la tangente de six 𝑦 plus 𝜋. Et nous pouvons simplifier davantage. Dans notre numérateur, nous avons 𝜋 moins 𝜋, ce qui est égal à zéro. Et nous pouvons également simplifier le dénominateur en rappelant que la fonction tangente a une période de 𝜋. Ainsi, la tangente de six 𝑦 plus 𝜋 sera égale à la tangente de six 𝑦.

Enfin, pour faire correspondre notre expression à la formule de référence, nous voulons un facteur un au numérateur, nous devons donc sortir les facteurs neuf et moins six de notre limite. Cela nous donne moins 54 multiplié par la limite quand 𝑦 tend vers zéro de 𝑦 divisé par la tangente de six 𝑦. Et nous pouvons directement obtenir cette limite en utilisant notre résultat de référence. La valeur de 𝑎 est six, et donc la limite est un sur six. En remplaçant ceci par un sur six, nous obtenons moins 54 sur six, qui fait moins neuf, ce qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons montré que la limite quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur six de neuf fois 𝜋 moins six 𝑥 divisé par la tangente de six 𝑥 est moins neuf.

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