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Vidéo de question : Trouver l’équation générale d’un plan sous des conditions données Mathématiques

Déterminez l’équation générale du plan qui passe par le point de coordonnées (8, −9, −9) et qui coupe les trois axes du repère en des points de même valeur.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’équation générale du plan qui passe par le point huit, moins neuf, moins neuf et qui coupe les trois axes du repère en des points de même valeur.

Pour commencer, nous allons tracer notre problème dans notre repère de coordonnées, et notez le deuxième point concernant notre plan : il intersecte les trois axes de coordonnées à la même distance de l’origine. Cela indique que la distance entre l'origine et le point d’intersection de notre plan avec l'axe des 𝑥, quelle qu'elle soit, est égale à la distance entre l'origine et le point d’intersection du plan avec l'axe des 𝑦, et à la distance entre l'origine et le point d’intersection du plan avec l'axe des 𝑧. Cela signifie que ces trois segments en rose ont tous la même longueur. Dans ce cas, notre plan ressemblerait à ceci par rapport à ce repère de coordonnées.

L'objectif est de trouver l'équation générale de ce plan. On peut y arriver avec deux informations sur le plan. Si nous avons, premièrement, un point situé dans le plan et, deuxièmement, un vecteur qui lui est normal ou perpendiculaire, alors nous pouvons résoudre la forme vectorielle de l'équation du plan et la convertir en forme générale. Notez que l'on nous donne un point qui se trouve dans notre plan. Il ne nous manque donc qu'un vecteur normal. Mais comment trouver les composantes d'un tel vecteur ? On peut le faire en pensant un peu à la pente ou au gradient de notre plan.

Si on le considère comme une surface, nous savons que cette surface est étendue de manière égale, disons, dans les directions des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧. On le sait car elle intersecte ces axes à la même distance de l'origine. Cela signifie que de même que les points d'intersection en 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont également répartis, on pourrait dire qu'il en sera de même pour les composantes d'un vecteur normal ou perpendiculaire au plan. Autrement dit, si l'une des composantes de notre vecteur normal est, disons, 𝑎, les deux autres composantes doivent avoir la même valeur. Bon, 𝑎 peut être n'importe quel nombre non nul. En fait, il existe une infinité de vecteurs qui sont normaux à notre plan. Par souci de simplicité, on peut considérer que 𝑎 est égal à un. Dans ce cas, notre vecteur normal 𝐧 a pour composantes un, un et un.

Et maintenant que nous avons un vecteur normal à notre plan et un point qui y est situé, rappelons-nous ce qu’est la forme vectorielle de l'équation d'un plan. Cette équation nous indique que si l’on prend le produit scalaire d'un vecteur normal à notre plan avec un autre vecteur en un point arbitraire du plan, alors il est égal au produit scalaire de notre vecteur normal avec un vecteur en un point connu du plan. Dans notre exemple, le point connu, que nous pouvons appeler 𝑃 zéro, est huit, moins neuf, moins neuf. Cela signifie que si nous traçons un vecteur de notre point d'origine à 𝑃 zéro, ce vecteur, que nous avons appelé 𝐫 zéro, aura les mêmes composantes que les coordonnées de 𝑃 zéro. Sachant à la fois les composantes de 𝐫 zéro et celles d'un vecteur normal, nous pouvons maintenant les substituer dans la forme vectorielle de l'équation d'un plan.

Sur le côté gauche, on a le produit scalaire de un, un, un et un vecteur en un point général de notre plan. On lui donne les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Et à droite, on a un produit scalaire entre notre vecteur normal et un vecteur d’un point connu. On peut maintenant commencer à effectuer ces produits scalaires en multipliant leurs composantes respectives. À gauche, on obtient 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 ; à droite, huit moins neuf moins neuf. On obtient ainsi moins 10. Enfin, si nous ajoutons 10 aux deux côtés de notre équation, on obtient ce résultat, qui est la forme générale de l'équation de notre plan. Ainsi, notre plan a pour équation : 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 plus 10 égal zéro.

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