Vidéo de la leçon: Théorème des valeurs intermédiaires Mathématiques • Enseignement supérieur

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Dans cette vidéo, nous allons découvrir le théorème des valeurs intermédiaires, un théorème très intuitif mais important quant aux fonctions continues. Mais avant d’aborder ce théorème, parlons d’abord de la fonction racine carrée.

Quelle est la racine carrée de quatre ? Eh bien, celle-ci est facile. Nous savons que c’est deux. Et nous pouvons vérifier que cela est vrai en élevant deux au carré, en le multipliant par lui-même. Et ce faisant, nous obtenant bien quatre. Eh bien, moins deux au carré égale aussi quatre. Alors peut-être qu’il n’y a pas d’argument contredisant que la racine carrée de quatre est également moins deux. Mais comme nous aimerions que les racines carrées soient une fonction, nous avons besoin d’une réponse unique pour la racine carrée de quatre. Et nous choisissons la réponse positive. C’est deux.

Que diriez-vous de la racine carrée de 49 sur 25 ? C’est un peu plus compliqué. Mais nous pouvons vérifier que la réponse est sept sur cinq en élevant sept sur cinq au carré et en voyant que nous obtenons 49 sur 25. Pour trouver la racine carrée de 10.89, vous devrez peut-être utiliser vos calculatrices. Mais ayant la valeur de 3.3, il est facile de vérifier. Nous pouvons même le vérifier à la main si nous n’avons pas confiance en nos calculatrices.

Mais qu’en est-il de la racine carrée de deux ? Votre calculatrice peut vous dire que sa valeur est 1.414213562 ou quelque chose comme ça. Et si vous calculez cette valeur à l’aide de votre calculatrice, vous obtiendrez peut-être la réponse deux, et c’est une bonne nouvelle, n’est-ce pas ? Cependant, lorsque je le mets au carré à l’aide de mon ordinateur, qui est plus précis que ma calculatrice, je constate qu’en réalité, ce nombre élevé au carré est 1.99999999894, ce qui est très proche de deux, mais pas égal à deux. La raison est que cette valeur 1.414213562 n’est pas exacte. Le développement décimal continue avec 370395.

Vous savez peut-être que la racine carrée de deux est un nombre irrationnel. Et donc, on ne peut pas l’écrire sous la forme d’une fraction comme sept sur cinq. Et donc, nous ne pouvons pas vérifier que son carré est vraiment deux de la même manière avec laquelle nous avons vérifié que le carré de sept sur cinq est vraiment 49 sur 25. Ni le développement décimal de la racine carrée de deux ne se termine, les chiffres continuent à se développer. Nous ne pouvons donc pas le mettre au carré en utilisant une longue multiplication, comme nous l’avons fait pour 3.3. En fait, nous ne pouvons même pas écrire sa valeur exacte, au moins pas sous forme de fraction ou de nombre décimal. Si on nous demande de l’écrire exactement, nous écrirons simplement la racine carrée de deux, ce qui semble tricher. La racine carrée de deux est égale à la racine carrée de deux. Néanmoins, nous appelons la racine carrée de deux un nombre réel. Et nous disons la même chose pour la racine carrée de trois, où nous rencontrons les mêmes problèmes.

D’autre part, nous disons que la racine carrée de moins un n’est pas un nombre réel. Pourquoi cette discrimination ? La réponse provient du théorème des valeurs intermédiaires. Voici une représentation graphique de 𝑦 égale 𝑥 au carré. On peut élever les nombres au carré en utilisant ce graphique. Par exemple, nous pouvons trouver un au carré en identifiant un sur l’axe des 𝑥, puis en montant de un sur l’axe des 𝑥 jusqu’au point où il croise la courbe, puis le long de l’axe des 𝑦. Et nous lisons un au carré, qui est un.

Nous pouvons également lire la racine carrée en utilisant ce graphique. Par exemple, pour trouver la racine carrée de quatre, nous identifions quatre sur l’axe des 𝑦 et nous suivons la direction de l’autre côté de la courbe, puis nous descendons jusqu’à atteindre l’axe des 𝑥 en deux. Donc, la racine carrée de quatre est deux. Maintenant, pour trouver la racine carrée de deux, nous pouvons aller de deux sur l’axe des 𝑦 jusqu’à atteindre la courbe. Et puis, descendre sur l’axe des 𝑥 et on obtient la racine carrée de deux. Si nous appelons ce nombre, 𝑐, alors nous devons obtenir 𝑐 au carré égale deux. Donc 𝑐 est la racine carrée de deux. De même, nous pouvons trouver la racine carrée de trois.

Cela nous permettra-t-il de trouver la racine carrée de tout nombre ? Eh bien, pas tout à fait, car un nombre négatif ratera complètement la courbe. Nous ne pouvons pas trouver la racine carrée de moins un de cette manière. Nous pouvons trouver les racines carrées de deux et de trois parce que ces valeurs sont comprises entre les valeurs de 𝑓 de un, qui est un, et de 𝑓 de deux qui est quatre. La fonction est continue sur l’intervalle de un à deux. Et ainsi, la valeur de 𝑦 sur la courbe, qui est la valeur de la fonction, change progressivement de un à quatre, passant par deux et trois. La courbe doit donc passer par 𝑦 égale deux et 𝑦 égale trois. Et en outre, les valeurs de 𝑥 en lesquelles ces intersections se produisent doivent être comprises dans l’intervalle de un à deux.

Décrivons avec des mots pourquoi nous pensons que cela est vrai. Soit 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré lorsque deux est compris entre 𝑓 de un, qui est un, et 𝑓 de deux, qui est quatre. Et comme 𝑓 est continue, il doit exister un nombre 𝑐 appartenant à l’intervalle ouvert de un à deux, tel que 𝑓 de 𝑐 égale deux. En d’autres termes, 𝑐 au carré est deux et 𝑐 est la racine carrée de deux. Bien sûr, cela ne fonctionne pas uniquement pour la racine carrée de deux. Nous pouvons également trouver la racine carrée de trois de la même manière. Et cinq ? Eh bien, cinq n’est pas compris entre 𝑓 de un qui est un et 𝑓 de deux, qui est quatre. Mais il est compris entre 𝑓 de deux, soit quatre, et 𝑓 de trois, soit neuf. Et ainsi, il doit exister un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de deux à trois, de sorte que 𝑓 de 𝑐 vaut cinq.

Pour tout nombre réel positif 𝑁, on peut trouver 𝑎 et 𝑏 tel que 𝑁 soit compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏. Et ainsi, sa racine carrée 𝑐 doit être comprise entre 𝑎 et 𝑏. Nous avons parlé ici de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré et déterminé la racine carrée en utilisant cela. Mais on pourrait tout aussi bien parler de racines cubes, il en va de même ou de cinquièmes racines. En fait, la seule chose que nous utilisons à propos de 𝑓 est qu’elle est continue. Nous pouvons donc énoncer un résultat très général. Si 𝑓 est continue sur l’intervalle fermé de 𝑎 jusqu’à 𝑏 et que le nombre 𝑁 est compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏, alors il existe un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏, tel que 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁. Vous pouvez vérifier qu’il s’agit bien du même énoncé que nous avons ci-dessus, seulement avec 𝑓 de 𝑥 continue.

Traçons un graphique plus général pour illustrer cela. Nous avons une fonction 𝑓 qui est continue sur l’intervalle fermé 𝑎, 𝑏, et 𝑁 est compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏. Alors, il existe un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏 tel que 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁. Cela semble être vrai. Notez que selon la valeur de 𝑁, ce choix de 𝑐 peut ne pas être unique. Il peut y avoir plusieurs valeurs possibles de 𝑐, mais nous en avons à coup sûr au moins une. Il faut que 𝑁 soit compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏 pour que cela soit vrai. Autrement dit, il faut que 𝑁 soit une valeur intermédiaire de 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏. Si 𝑁 n’est pas une valeur intermédiaire de 𝑓 de 𝑎 et de 𝑓 de 𝑏, nous pourrions alors obtenir certaines valeurs de 𝑐. Mais il n’y a aucune garantie.

Pour cette raison, cet énoncé s’appelle le théorème de la valeur intermédiaires. C’est un théorème car, malgré le fait que cela puisse sembler évident, mais en fait il peut et doit être prouvé à l’aide de la définition de la continuité. Cependant, la preuve est assez technique, en utilisant la définition technique de continuité. Nous ne la verrons donc pas dans cette vidéo. Mais nous verrons beaucoup d’applications. Allons voir la première.

La figure montre la représentation graphique de la fonction 𝑓 sur l’intervalle fermé de zéro à 16 ainsi que la droite en pointillés d’équation 𝑦 égale 30. 𝑓 de zéro est strictement inférieure à 30, et 𝑓 de 16 est strictement supérieure à 30. Mais 𝑓 de 𝑥 n’égale pas 30 n’importe où sur l’intervalle fermé de zéro à 16. Pourquoi cela ne contrevient-il pas au théorème de la valeur intermédiaires ?

Voyons ce qu’on nous dit dans la question. 𝑓 de zéro est-elle inférieure à 30 ? Eh bien, oui, nous pouvons voir ici que 𝑓 de zéro semble être environ 12. De même, 𝑓 de 16 est supérieure à 30. Elle semble être environ 32. Mais 𝑓 de 𝑥 n’égale 30 nulle part sur l’intervalle. Cela est vrai parce que la droite en pointillés 𝑦 égale 30 ne croise nulle part la courbe représentative de notre fonction. La question est de savoir pourquoi cela n’enfreint pas le théorème de la valeur intermédiaires. Eh bien, qu’énonce le théorème de la valeur intermédiaires ? Il énonce que si une fonction 𝑓 est continue sur un intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏, et si le nombre 𝑁 est compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏, les valeurs de la fonction sur les extrémités de l’intervalle. Alors il existe un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏 tel que 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁.

Nous pouvons voir comment il pourrait sembler que nous avons un contre-exemple au théorème des valeurs intermédiaires. Nous considérons 𝑁 égale 30 et notons que 30 est compris entre 𝑓 de zéro et 𝑓 de 16. Cependant, il n’existe aucune valeur 𝑐 dans l’intervalle ouvert de zéro à 16 tel que 𝑓 de 𝑐 vaut 30. Pourquoi cela n’est-il pas un contre-exemple au théorème de la valeur intermédiaires ? Le théorème des valeurs intermédiaires ne s’applique que si 𝑓 est continue. Notre fonction ne satisfait pas cette hypothèse requise. Nous pouvons voir qu’il y a une discontinuité ici en 𝑥 égale à huit.

Alors pourquoi cela n’enfreint-il pas le théorème des valeurs intermédiaires ? Parce que la fonction n’est pas continue en 𝑥 égale huit. Et ainsi, elle n’est pas continue sur l’intervalle fermé de zéro à 16, ce qui est requis pour que le théorème des valeurs intermédiaires s’applique.

Maintenant que nous avons vu que nous ne pouvons pas appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à des fonctions non continues, voyons pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires est utile pour les fonctions continues.

Soit 𝑓 de 𝑥 égale trois à la puissance 𝑥 moins 𝑥 à la puissance cinq. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, lequel des intervalles suivants doit comprendre une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale zéro ? Est-ce l’intervalle fermé de deux à trois, l’intervalle fermé de zéro à un, l’intervalle fermé de moins trois à moins deux, l’intervalle fermé de un à deux ou l’intervalle fermé de moins deux à moins un ?

Nous avons donc une fonction. Comment pouvons-nous utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour déterminer lequel de ces intervalles comprend une racine de cette fonction, une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale zéro ? Eh bien, rappelons-nous le théorème des valeurs intermédiaires. Il énonce que si une fonction 𝑓 est continue sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏 et que 𝑁 est un nombre compris entre les valeurs de la fonction aux extrémités de cet intervalle. Soient 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏. Il existe alors un certain nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏, tel que 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁. La première chose à noter est que notre fonction 𝑓 est continue sur l’ensemble des nombres réels, et donc sur tous les intervalles donnés comme choix. Donc, cette hypothèse est vraie.

Maintenant, rappelez-vous, nous voulons trouver une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale zéro. En comparant cela avec 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁, il semble que nous voulons définir 𝑁 égale zéro. Donc, le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que pour notre fonction continue 𝑓, si zéro est compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏, alors il existe un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏 tel que 𝑓 de 𝑐 égale zéro. En d’autres termes, si 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏 ont des signes différents, alors il existe un nombre 𝑐 compris entre 𝑎 et 𝑏 qui est la racine de 𝑓.

Donc pour résoudre cette question, nous prenons chaque intervalle dans les options en commençant par l’intervalle de deux à trois. Et si les signes de 𝑓 de deux et de 𝑓 de trois sont différents, si l’un d’entre eux est positif et l’autre négatif, alors nous savons qu’il doit y avoir dans cet intervalle une racine, une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale zéro. Calculons donc 𝑓 de deux et 𝑓 de trois. Nous faisons cela en utilisant la définition de 𝑓 de 𝑥 que nous avons dans la question. Nous pouvons les évaluer à la main ou à l’aide d’une calculatrice, et on trouve que 𝑓 de trois est moins 216 et 𝑓 de deux est moins 23. Il n’y a pas de changement de signes de la fonction ici. Les deux valeurs sont négatives.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, nous savons que la fonction 𝑓 doit prendre toutes les valeurs comprises entre moins 23 et moins 216 lorsque son entrée passe de deux à trois. Nous aurions donc une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale moins 100. Par exemple, dans cet intervalle. Cependant, comme zéro n’est pas compris entre moins 23 et moins 216, on ne peut pas dire qu’il doit y avoir une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale zéro dans cet intervalle.

Nous passons à l’option B. L’intervalle fermé de zéro à un. Nous calculons les valeurs de la fonction aux extrémités. Nous trouvons que 𝑓 de un est deux, et que 𝑓 de zéro est un. Là encore, il n’y a pas de changement de signes, donc pas de garantie de zéro dans cet intervalle. Cependant, nous pouvons voir un changement de signes entre 𝑓 de un et 𝑓 de deux. 𝑓 de un est positive et 𝑓 de deux est négative. Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que lorsque 𝑓 est continue sur l’intervalle fermé de un à deux et lorsque zéro est compris entre 𝑓 de un, qui est deux, et 𝑓 de deux, qui est moins 23. Il existe alors un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de un à deux tel que 𝑓 de 𝑐 égale zéro. Et comme 𝑐 appartient à l’intervalle ouvert de un à deux, il doit également appartenir à l’intervalle fermé de un à deux. Nous avons donc une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale zéro dans l’intervalle fermé de un à deux. C’est l’option D.

Nous pouvons, si nous le souhaitons, vérifier les valeurs de la fonction aux extrémités des autres intervalles donnés dans les options pour vérifier qu’il n’y a pas de changement de signes ni dans les intervalles C ni E. Ainsi, D est bien la seule réponse correcte. Alors que le théorème des valeurs intermédiaires nous garantit une racine ou une solution pour 𝑓 de 𝑥 égale zéro dans l’intervalle de un à deux, on ne peut pas simplement nous baser sur le théorème des valeurs intermédiaires pour dire qu’il n’y a pas de racines dans les autres intervalles.

Allons voir pourquoi pas.

Si 𝑓 de 𝑥 est continue sur l’intervalle fermé de zéro à trois, 𝑓 de zéro est strictement supérieure à zéro et 𝑓 de trois est strictement supérieure à zéro, alors pouvons-nous utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour conclure que 𝑓 de 𝑥 n’a pas de zéros dans l’intervalle de zéro à trois ?

Essayons de représenter ce scénario sur un graphique. Nous savons que 𝑓 de zéro est positive. Dessinons-la ici, et 𝑓 de trois est également positive. Alors peut-être que sa représentation graphique passe par ce point et que 𝑓 de 𝑥 est continue. Est-ce que cela signifie que 𝑓 de 𝑥 n’a pas de zéros dans l’intervalle de zéro à trois ? Et bien non. Nous pouvons tracer le graphique d’une fonction continue 𝑓 pour où 𝑓 de zéro et 𝑓 de trois sont toutes deux positives, mais qui comporte des zéros dans l’intervalle fermé de zéro à trois. Nous espérons donc ne pas pouvoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour conclure que 𝑓 de 𝑥 ne contient pas de zéros, car ce n’est simplement pas vrai.

Pourquoi pourrait-on penser que le théorème des valeurs intermédiaires implique cette affirmation incorrecte ? Selon le théorème des valeurs intermédiaires, si 𝑓 est continue sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏 et que 𝑁 est le nombre compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏, il existe alors un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏 tel que 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁. En définissant 𝑁 égale zéro, nous obtenons le cas spécial que si 𝑓 est une fonction continue et que 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏 ont des signes opposés, il existe alors un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏 tel que 𝑓 de 𝑐 égale zéro. En d’autres termes, il y a un zéro de la fonction 𝑓 dans l’intervalle.

Ce cas particulier est parfois appelé théorème de Bolzano. Il faut faire attention ici. Le théorème des valeurs intermédiaires ne signifie pas que si 𝑁 n’est pas compris entre 𝑓 𝑎 de et 𝑓 de 𝑏, qu’il n’existe alors pas un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏 tel que 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁. Le cas particulier ne signifie donc pas que si 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏 ont le même signe. En d’autres termes, s’ils sont à la fois positifs ou à la fois négatifs, qu’il ne peut exister un nombre 𝑐, qui est la racine de 𝑓. C’est une affirmation sur laquelle on nous interroge dans la question, et qui ne découle pas du théorème des valeurs intermédiaires. Notre réponse est donc non. On ne peut pas conclure que 𝑓 de 𝑥 n’a pas de zéros dans l’intervalle de zéro à trois.

Réfléchissons maintenant aux points clés que nous avons abordés dans cette vidéo. Premièrement, l’énoncé du théorème des valeurs intermédiaires. Si 𝑓 est continue sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏 et 𝑁 est un nombre compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏, alors il existe un nombre 𝑐 entre 𝑎 et 𝑏 pour lequel 𝑓 de 𝑐 égale 𝑁. Cela peut vous sembler évident, mais tout ce qui est évident n’est pas toujours vrai. Cependant, c’est un théorème qui peut être prouvé.

Il est important d’interpréter correctement l’énoncé du théorème. Le théorème ne dit pas que 𝑐 doit être unique. Il peut y avoir plus d’une valeur de 𝑐 dans l’intervalle ouvert pour laquelle 𝑓 de 𝑐 est 𝑁. Le théorème n’affirme pas non plus que si 𝑀 n’est pas compris entre 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 de 𝑏, qu’il n’y a donc pas de 𝑑 pour lequel 𝑓 de 𝑑 égale 𝑀. Ce n’est tout simplement pas vrai comme on peut le voir en regardant le diagramme.

Nous avons également vu que le théorème des valeurs intermédiaires peut être utilisé pour justifier l’existence des zéros des fonctions. Vous pensez peut-être que cela n’est pas particulièrement utile. Mais c’est un outil très important qui peut être utilisé pour prouver des faits qui ne sont pas du tout évidents.