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Les coordonnées des points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont trois, deux ; moins un, sept ; trois, un ; et neuf, deux, respectivement. Les segments 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont-ils perpendiculaires ?
Pour nous aider à comprendre ce qui se passe dans cette question, on va faire un petit schéma. On a donc dessiné des axes ici. Et on va maintenant représenter nos quatre points. Nous en avons besoin pour répondre à cette question afin d'avoir une représentation graphique de la question.
D'abord, on a le point 𝐴 en trois, deux, donc trois sur l'axe des 𝑥, deux sur l'axe des 𝑦. Et ensuite, nous avons le point 𝐵 en moins un, sept, le point 𝐶 en trois, un, et enfin le point 𝐷 en neuf, deux. Bon, alors maintenant, nous avons nos quatre points. La question est de savoir si les segments 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont perpendiculaires.
On a maintenant nos segments. Vérifions s'ils sont perpendiculaires. Avant tout, que signifie "perpendiculaires" ? Bien, si deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre, ça signifie qu'elles forment un angle droit. Voilà ce que signifie le terme "perpendiculaires".
Cependant, comment pouvons-nous déterminer si deux droites sont réellement perpendiculaires l'une à l'autre ? Il existe en fait une relation spéciale entre les droites perpendiculaires qui est liée aux pentes, où la pente on l'appelle 𝑚. Ainsi, si nous avons les pentes de deux droites perpendiculaires que nous appelons 𝑚 un et 𝑚 deux, alors, leur produit sera moins un.
Une autre manière d'y penser est que la pente d'une droite est égale à moins l'inverse de la pente d'une droite qui lui est perpendiculaire. C'est donc moins un sur la pente de cette autre droite. En gardant cela à l'esprit, déterminons maintenant la pente de 𝐴𝐵 ou 𝐵𝐴 et 𝐶𝐷.
Pour nous aider à trouver les pentes de nos deux droites, nous avons la formule de la pente. Elle dit que la pente 𝑚 est égale à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Ce qui veut dire que c'est la variation en 𝑦 divisée par la variation en 𝑥, donc c'est la variation de nos coordonnées 𝑦 divisée par la variation de nos coordonnées 𝑥.
Bon, alors maintenant, nous avons tout ce dont nous avons besoin pour résoudre le problème. Donc pour la droite 𝐴𝐵, on a 𝐴, de coordonnées trois, deux. En fait, on a marqué ceci 𝑥 un, 𝑦 un et ensuite 𝐵 de coordonnées moins un, sept. Et on a marqué ceci 𝑥 deux, 𝑦 deux.
Ainsi, avec notre formule, on peut dire que la pente que l’on a appelée 𝑚 un dans ce cas puisque c'est la première que nous calculons est égale à sept moins deux vu que c'est notre 𝑦 deux moins notre 𝑦 un divisé par moins un qui est notre 𝑥 deux moins trois car trois est notre 𝑥 un. Cela nous donne donc moins cinq sur quatre, car sept moins deux égale cinq, et moins un moins trois égale moins quatre. Ainsi, c'est donc moins cinq sur quatre ou moins cinq quarts.
Donc, c'est 𝑚 un. C'est donc la pente de 𝐴𝐵. Maintenant, trouvons la pente de 𝐶𝐷. Maintenant, pour 𝐶𝐷, nous avons 𝐶 est de cordonnées trois, un, donc 𝑥 un, 𝑦 un. Et 𝐷 est de cordonnées neuf, deux. Donc, c’est 𝑥 deux, 𝑦 deux. Donc par conséquent, ce qu'on va avoir c'est deux moins un, car c'est 𝑦 deux moins 𝑦 un, divisé par neuf moins trois car c'est notre 𝑥 deux moins notre 𝑥 un. Ce qui donne donc un sur six. On dira la pente de 𝐶𝐷 est un sur six ou bien un sixième.
À présent, on va utiliser la première relation dont on a parlé, à savoir le produit de 𝑚 un par 𝑚 deux. Si deux droites sont perpendiculaires, on obtient un résultat de moins un. Donc, on l'utilise pour voir si nos deux droites sont perpendiculaires, donc 𝑚 un multiplié par 𝑚 deux.
On obtient moins cinq sur quatre, donc moins cinq quarts, multiplié par un sixième, soit moins cinq sur 24. Et ça, c'est parce que vous multipliez les numérateurs et multipliez les dénominateurs.
Et bien, moins cinq sur 24 est différent de moins un. Par conséquent, on peut dire que les segments 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 ne sont pas perpendiculaires.
