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Vidéo de question : Déterminer l’intégration d’une fonction à l’aide de la règle de puissance pour l’intégration avec des racines et les exposants négatifs Mathématiques

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par -4 √ (𝑥) - 5 + (7 / 𝑥²).

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par moins quatre racine de 𝑥 moins cinq plus sept sur 𝑥 au carré.

Donc, la première chose que nous allons faire est de réécrire notre expression pour l’intégrer. Je vais la réécrire en utilisant des règles d’exposants. Et la première de celles-ci est que si nous avons la racine carrée de 𝑥, alors cela est égal à 𝑥 élevé à la puissance un demi. Et nous pouvons l’utiliser au premier terme. En plus, nous avons une autre règle d’exposant que nous allons utiliser. Et cette règle est que si nous en avons un sur 𝑥 à la puissance 𝑎, cela est égal à 𝑥 à la puissance moins 𝑎. Et nous allons l’utiliser au troisième terme de notre expression.

D’accord, alors utilisons-les et réécrivons notre expression. Ainsi, lorsque nous le faisons, nous pouvons voir que l’expression que nous essayons d’intégrer devient moins quatre 𝑥 à la puissance un demi moins cinq plus sept 𝑥 à la puissance moins deux. Et pour intégrer l’expression que nous avons, il suffit de se rappeler comment nous intégrons les termes individuels. Eh bien, si nous voulons intégrer 𝑥 à la puissance 𝑛 d𝑥, alors cela est égal à 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝑐. Donc, en gros, nous ajoutons un à l’exposant et divisons par le nouvel exposant. Et puis, nous ajoutons 𝑐, qui est notre constante d’intégration.

Donc, cela signifie que notre premier terme sera moins quatre 𝑥 à la puissance trois sur deux. Et c’est parce que si vous avez un demi et que vous ajoutez un, vous obtenez un et demi ou trois sur deux. Et puis, cela est divisé par le nouvel exposant, donc divisé par trois sur deux. Ensuite, nous obtenons moins cinq 𝑥. Et nous obtenons cela parce que l’on peut écrire cinq comme cinq fois 𝑥 à la puissance zéro, si nous augmentons l’exposant de un, nous obtenons cinq 𝑥. Et si nous divisons par le nouvel exposant, nous divisons par un ; ça ne change rien. Et puis, nous obtenons plus sept 𝑥 à la puissance moins un sur moins un. Et puis, enfin, on ajoute 𝑐 car nous ne pouvons pas oublier notre constante d’intégration.

D’accord, alors arrangeons un peu cela. Eh bien, notre premier terme sera moins huit sur trois 𝑥 à la puissance trois demi. Et si nous regardons comment nous avons obtenu cela, nous avions moins quatre divisé par trois sur deux. Eh bien, si nous divisons par une fraction, cela revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Donc, c’est moins quatre multiplié par deux sur trois. Eh bien, moins quatre multiplié par deux est moins huit. Donc, nous obtenons moins huit sur trois. Et puis, notre deuxième terme reste inchangé. Donc, nous avons moins cinq 𝑥. Et puis, enfin, nous avons moins sept 𝑥 à la puissance moins un. Et nous l’avons obtenu parce que cela vient de changer le signe du dernier terme parce que nous divisons par moins un. Et puis, nous avons notre plus 𝑐 à la fin.

Nous pourrions laisser la réponse comme ceci. Ce sera tout à fait acceptable. Mais nous allons la réécrire pour qu’elle soit dans le format dans lequel nous avions l’expression originale. Eh bien, pour le premier terme, ce que nous allons faire, c’est que nous allons utiliser la règle de l’exposant que nous avons examinée en premier. Et ce que nous allons obtenir est moins huit racine 𝑥 au cube sur trois. Donc, nous pouvons utiliser la première règle des exposants pour nous donner la racine 𝑥. Mais parce que nous avions 𝑥 à la puissance trois sur deux, nous utilisons le numérateur de cette fraction comme exposant du terme 𝑥 dans notre racine. Et puis, notre deuxième terme reste inchangé. Donc, nous avons moins cinq 𝑥. Et puis, enfin, pour le dernier terme, nous utilisons la deuxième règle des exposants que nous avons examinée. Donc, nous allons obtenir moins sept sur 𝑥. Et puis, nous avons plus 𝑐 à la fin.

Ainsi, nous pouvons dire que l’intégrale de moins quatre racine 𝑥 moins cinq plus sept sur 𝑥 carré d𝑥 est moins huit racine 𝑥 au cube sur trois moins cinq 𝑥 moins sept sur 𝑥 plus 𝑐.

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