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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une fonction Mathématiques

Déterminez la limite_ (𝑥 ⟶ 2) ((1 / 𝑥⁵) - (1/32)) / (𝑥² - 4).

03:07

Transcription de vidéo

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un divisé par 𝑥 à la puissance cinq moins un divisé par 32, le tout divisé par 𝑥 au carré moins quatre.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer une limite. Et nous pouvons voir que la fonction dont on nous demande d’évaluer la limite est composée de fonctions rationnelles. Cela signifie que nous pouvons essayer d’évaluer cette limite par substitution directe. Pour ce faire, nous substituons 𝑥 est égal à deux dans notre fonction. Nous obtenons un divisé par deux à la puissance cinq moins un sur 32, le tout divisé par deux au carré moins quatre. Cependant, si nous évaluons cette expression, nous nous retrouvons avec zéro divisé par zéro. Il s’agit d’une forme indéterminée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas évaluer cette limite en utilisant uniquement la substitution directe. Au lieu de cela, nous allons devoir utiliser une autre méthode.

Pour évaluer cette limite, nous devons remarquer que nous pouvons réécrire notre limite. Premièrement, en utilisant les lois des exposants, nous savons que nous pouvons réécrire un sur 𝑥 à la puissance cinq comme 𝑥 à la puissance moins cinq. En fait, nous pouvons également écrire le deuxième terme dans notre numérateur comme une puissance moins cinq. Un sur 32 est deux à la puissance moins cinq. Cela nous donne alors la limite lorsque 𝑥 approche deux de 𝑥 à la puissance moins cinq moins deux à la puissance moins cinq le tout divisé par 𝑥 au carré moins quatre.

Et ainsi, cela est presque exactement sous la forme de la limite d’une différence de deux puissances. Nous avons juste besoin de réécrire notre dénominateur. Nous pouvons voir que quatre est égal à deux au carré. La base de cette expression est la valeur à laquelle nous prenons la limite, et l’exposant de cette expression est l’exposant de 𝑥 dans notre dénominateur. Cela nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 à la puissance moins cinq moins deux à la puissance moins cinq, le tout divisé par 𝑥 au carré moins deux au carré.

Et maintenant, nous pouvons évaluer cette limite en rappelant un résultat impliquant la limite d’une différence de puissances. Et nous rappelons que cela nous indique que pour toutes les constantes réelles 𝑎, 𝑛 et 𝑚, la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑎 à la puissance 𝑛 le tout divisé par 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑎 à la puissance de 𝑚, est égal à 𝑛 divisé par 𝑚 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑚. Et cela est vrai à condition que la valeur de 𝑚 ne soit pas égale à zéro et que 𝑎 à la puissance n, 𝑎 à la puissance 𝑚, et 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑚 existent tous.

Nous pouvons voir à partir de notre expression que l’exposant au numérateur 𝑛 est moins cinq, l’exposant au dénominateur 𝑚 est deux, et notre valeur de 𝑎 est également égale à deux. Par conséquent, nous pouvons évaluer cette limite en substituant ces valeurs dans notre formule. Nous obtenons moins cinq divisé par deux multiplié par deux à la puissance moins cinq moins deux. Et ensuite, nous pouvons simplifier cette expression car moins cinq moins deux vaut moins sept. Et en utilisant les lois des exposants, deux à la puissance moins sept est un divisé par deux à la puissance sept, ce qui nous donne moins cinq sur deux multiplié par un divisé par deux à la puissance sept qui, si nous évaluons, est égal à moins cinq divisé par 256.

Par conséquent, nous avons pu montrer la limite, lorsque 𝑥 approche deux, de un sur 𝑥 à la puissance cinq moins un sur 32 le tout divisé par 𝑥 au carré moins quatre, est égal à moins cinq divisé par 256.

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