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Vidéo de question : Déterminer la somme d’un nombre complexe et de son conjugué Mathématiques

Si 𝑠 = 8 + 2𝑖, que vaut 𝑠 + 𝑠 ^ (*) ?

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Transcription de vidéo

Si 𝑠 est égal à huit plus deux 𝑖, que vaut 𝑠 plus 𝑠 étoile ?

Dans cette question, on nous a donné un nombre complexe. C’est 𝑠 égal huit plus deux 𝑖. À présent, on nous demande de calculer la valeur de 𝑠 plus 𝑠 étoile. Alors, rappelons ce que nous entendons par 𝑠 étoile. 𝑠 étoile est le conjugué du nombre complexe 𝑠. Rappelons alors ce que nous entendons réellement par le conjugué d’un nombre complexe.

Disons que nous avons un nombre complexe 𝑧 qui est de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. Maintenant, 𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles. La partie réelle de 𝑧 est 𝑎, tandis que sa partie imaginaire est le coefficient de 𝑖. C’est donc 𝑏. Lorsque nous trouvons le conjugué de ce nombre complexe - notons le 𝑧 étoile - nous changeons simplement le signe de la partie imaginaire. Ainsi, pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, son conjugué est 𝑎 moins 𝑏𝑖.

Ainsi, la partie réelle de notre nombre complexe est huit et sa partie imaginaire est deux. Donc, pour 𝑠 étoile, son conjugué est huit moins deux 𝑖. Tout ce que nous avons fait c’est de changer le signe de la partie imaginaire. Maintenant, nous cherchons à trouver la valeur de 𝑠 plus 𝑠 étoile. Donc, c’est huit plus deux 𝑖 plus huit moins deux 𝑖. Bien sûr, maintenant, deux 𝑖 moins deux 𝑖 vaut zéro. Donc, il nous reste huit plus huit, soit 16.

Et donc, étant donné que le nombre complexe 𝑠 est égal à huit plus deux 𝑖, 𝑠 plus 𝑠 étoile – qui est la somme de ce nombre complexe et de son conjugué - vaut 16. Et en fait, c’est un résultat que nous pouvons généraliser. La somme d’un nombre complexe et de son conjugué sera toujours le double de la partie réelle de ce nombre complexe. Donc, dans ce cas, c’était deux fois huit. Et dans le cas général d’un nombre complexe 𝑧 égal 𝑎 plus 𝑏𝑖, 𝑧 plus 𝑧 étoile sera égal à deux fois 𝑎.

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