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Vidéo de question : Déterminer le nombre de solutions d’un système d’équations linéaires Mathématiques

Déterminez le nombre de solutions au système d’équations linéaires suivant : [20 ; −19 ; −17 et 17 ; 4 ; −19 et −16 ; 9 ; 15] [𝑥 et 𝑦 et 𝑧]=[−13 et −20 et −7].

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Transcription de vidéo

Déterminez le nombre de solutions au système d’équations linéaires suivant : 20, moins 19, moins 17, 17, quatre, moins 19, moins 16, neuf, 15 multiplié par 𝑥, 𝑦, 𝑧 égale moins 13, moins 20, moins sept.

Pour commencer, on peut rappeler que d’après le théorème de Rouché-Capelli, un système d’équations linéaires admet des solutions si et seulement si le rang de sa matrice des coefficients est égal au rang de sa matrice élargie. Dans notre cas, la matrice des coefficients, qu’on note 𝐴, est la matrice trois fois trois du membre de gauche de notre équation. On forme la matrice élargie, notée 𝐴 barre 𝑏, en ajoutant la matrice des constantes moins 13, moins 20, moins sept à la matrice des coefficients. Cela nous donne la matrice trois fois quatre suivante.

Rappelons ensuite que le rang d’une matrice 𝐴, noté 𝑅 𝑘 de 𝐴, est le nombre de lignes ou de colonnes 𝑛 de la plus grande sous-matrice carrée de dimension 𝑛 fois 𝑛 de la matrice 𝐴 dont le déterminant n’est pas nul. Dans cette question, on commencera par considérer les sous-matrices carrées de dimension trois fois trois. À ce stade, on peut rappeler que pour déterminer le rang d’une matrice trois fois trois, il existe un processus simple dont les étapes sont résumées dans le diagramme suivant.

On peut voir sur le diagramme que la première étape consiste à vérifier si la matrice est la matrice nulle. Ce n’est le cas ni de la matrice 𝐴, ni d’aucune sous-matrice trois fois trois de la matrice 𝐴 barre 𝑏. De même, aucune des lignes ou colonnes de nos matrices n’est un multiple non nul d’une autre ligne ou colonne. Donc il ne nous reste plus qu’à déterminer si le déterminant de la matrice trois fois trois est égal à zéro, car c’est ainsi qu’on saura si le rang de cette matrice est égal à deux ou trois.

En commençant par la matrice des coefficients 𝐴, on constate que la seule sous-matrice trois fois trois est la matrice 𝐴 elle-même. Alors calculons le déterminant de cette matrice. En développant par rapport à la ligne du haut, on a que le déterminant de la matrice 𝐴 est égal à 20 multiplié par le déterminant de la matrice quatre, moins 19, neuf, 15, moins moins 19 multiplié par le déterminant de la matrice 17, moins 19, moins 16, 15, plus moins 17 multiplié par le déterminant de la matrice 17, quatre, moins 16, neuf.

On peut maintenant rappeler que pour calculer le déterminant d’une matrice deux fois deux, on soustrait au produit de l’élément en haut à gauche et de l’élément en bas à droite le produit de l’élément en haut à droite et de l’élément en bas à gauche, ce qui signifie que le déterminant de 𝐴 est égal à 20 fois 231 plus 19 fois moins 49 moins 17 fois 217. C’est égal à zéro. Donc le rang de la matrice 𝐴 est égal deux. Cela signifie qu’il y a deux lignes et deux colonnes dans la plus grande sous-matrice de 𝐴 de déterminant non nul.

La prochaine étape consiste à déterminer le rang de la matrice élargie. D’après le théorème de Rouché-Capelli, si ce rang est égal au rang de la matrice des coefficients, alors le système d’équations admet des solutions. Notre matrice élargie est une matrice trois fois quatre, donc on doit commencer par identifier une sous-matrice trois fois trois. Pour cela, on peut supprimer la quatrième colonne de la matrice élargie, ce qui nous donne la matrice trois fois trois des coefficients. Or on a déjà montré que le déterminant de cette matrice est égal à zéro. Donc on doit identifier une autre sous-matrice trois fois trois de notre matrice élargie en supprimant la première, la deuxième ou la troisième colonne.

En supprimant la première colonne, on obtient la sous-matrice trois fois trois égale à moins 19, moins 17, moins 13, quatre, moins 19, moins 20, neuf, 15, moins sept. Notons cette matrice 𝐵 majuscule. Pour calculer son déterminant, on développe à nouveau par rapport à la première ligne et on obtient moins 19 multiplié par 433, moins moins 17 multiplié par 152, plus moins 13 multiplié par 231. C’est égal à moins 8646. Donc le déterminant de la sous-matrice 𝐵 est différent de zéro. Par conséquent, d’après la définition du rang d’une matrice, le rang de 𝐴 barre 𝑏 est égal à trois.

Donc le rang de la matrice 𝐴 n’est pas égal au rang de la matrice 𝐴 barre 𝑏. Ou autrement dit, le rang de la matrice des coefficients n’est pas égal au rang de la matrice élargie. On en déduit que le système d’équations linéaires n’a pas de solution.

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