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Vidéo de question : Comparer le trajet des électrons dans un faisceau d’électrons diffracté Physique

La figure montre certaines parties d’un faisceau d’électrons qui traverse un réseau cristallin. Le réseau a des plans parallèles séparés par une distance perpendiculaire 𝑑. Certains des électrons du faisceau sont dispersés par les atomes du réseau. Les électrons ont tous une longueur d’onde 𝜆. Chacune des lignes pointillées bleues sur la figure correspond à une onde distincte. Les ondes aux points A et B sont en phase l’une avec l’autre, et les ondes aux points B et C sont en phase l’une avec l’autre. Les lignes 𝐿₁ et 𝐿₂ sont parallèles. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la longueur du trajet parcouru par les électrons entre le point A et le point C ? [A] La longueur est égale à 𝑑. [B] La longueur est égale à 𝑛𝜆𝑑, où 𝑛 est un entier. [C] La longueur est égale à 𝑛𝜆, où 𝑛 est un entier. [D] La longueur est égale à 𝑛𝜆/2, où 𝑛 est un entier. [E] La longueur est égale à 𝑛𝜆/𝑑, où 𝑛 est un entier. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre les angles 𝜃₁ et 𝜃₂ ? [A] 𝜃₁ = 𝜃₂ (B) 𝜃₁ > 𝜃₂ [C] 𝜃₁ < 𝜃₂

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Transcription de vidéo

La figure montre certaines parties d’un faisceau d’électrons qui traverse un réseau cristallin. Le réseau a des plans parallèles séparés par une distance perpendiculaire 𝑑. Certains des électrons du faisceau sont dispersés par les atomes du réseau. Les électrons ont tous une longueur d’onde 𝜆. Chacune des lignes pointillées bleues sur la figure correspond à une onde distincte. Les ondes aux points A et B sont en phase l’une avec l’autre, et les ondes aux points B et C sont en phase l’une avec l’autre. Les lignes 𝐿 un et 𝐿 deux sont parallèles. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la longueur du trajet parcouru par les électrons entre le point A et le point C ? (A) La longueur est égale à 𝑑. (B) La longueur est égale à 𝑛 fois 𝜆 fois 𝑑, où 𝑛 est un entier. (C) La longueur est égale à 𝑛 fois 𝜆, où 𝑛 est un entier. (D) La longueur est égale à 𝑛 fois 𝜆 divisé par deux, où 𝑛 est un entier. (E) La longueur est égale à 𝑛 fois 𝜆 divisé par 𝑑, où 𝑛 est un entier.

Sur notre figure, nous localisons le point A ici et le point C ici. Nous voulons savoir laquelle de ces cinq descriptions décrit correctement la différence de trajet des électrons qui voyagent du point A au point C. Et plus précisément, nous parlons du trajet suivi par les électrons qui suivent cette ligne bleue en pointillés. Cela signifie que nous voulons trouver quelle est la longueur de ce segment ajouté à la longueur de ce segment. Notre figure nous montre qu’il existe d’autres trajets que les électrons suivent à travers ce réseau cristallin. Par exemple, il y a aussi ce trajet représenté ici de nouveau par des lignes bleues pointillées.

Sur le deuxième trajet d’électrons que nous avons choisi, il y a un point B ici. Lorsque les électrons suivent ces chemins, ils ont une longueur d’onde dépendant de leur vitesse. Ceci est en accord avec la relation de Broglie, qui dit que la longueur d’onde d’une particule est égale à la constante de Planck divisée par la masse de cette particule multipliée par son vecteur vitesse. Dans l’énoncé de notre problème, on nous dit que tous les électrons incidents sur ce cristal ont la même longueur d’onde.

Disons que nous avons deux ondes de ce type où non seulement les ondes ont la même longueur d’onde, mais les pics d’une onde sont alignés avec les pics de l’autre et les creux d’une onde sont alignés avec les creux de l’autre. Lorsque cela se produit, ces deux ondes sont dites en phase.

En regardant à nouveau sur notre figure, on nous dit que l’onde au point A est en phase avec l’onde au point B. Et pas seulement cela, mais l’onde au point B est en phase avec l’onde au point C. Appelons l’onde le long de ce chemin à l’extrême droite, celle qui passe par le point B, l’onde un. Nous dirons que cela correspond à l’onde orange que nous avons dessinée ici. Et puis appelons le chemin d’électrons qui passe par les points A et C, l’onde deux. Ceci est représenté ici par la ligne bleue.

Ce que nous allons faire, c’est choisir un point sur notre onde orange et appeler ce point le point B. Disons que c’est ce pic ici. C’est donc le point B. Et on nous dit que le point A de notre onde bleue est en phase avec ce point. Vraiment, nous pouvons choisir n’importe quel pic de notre onde bleue pour représenter le point A. Disons que nous choisissons celui-ci. Nous savons que l’onde deux continue sur une certaine distance et que plus loin sur cette onde, il y a un point C qui est également en phase avec le point B. Disons que ce pic est ce point.

Notre question se résume à « quelle est la différence de longueur de chemin entre ces deux points A et C sur cette onde bleue ? » Parce que ces deux points sont des pics sur l’onde, nous savons qu’ils doivent être séparés par un certain nombre de longueurs d’onde. En sachant cela, nous pouvons éliminer certaines de nos options de réponse.

Par exemple, l’option de réponse (A) indique que la longueur entre A et C est égale à 𝑑. 𝑑, nous le savons, est la distance de séparation entre les couches adjacentes du cristal. En général, 𝑑 pourrait avoir n’importe quelle valeur. Il n’a pas nécessairement besoin d’égaler un multiple de notre longueur d’onde. Nous ne pouvons pas supposer que 𝑑 se rapporte à la longueur d’onde en particulier. Nous allons donc barrer la réponse (A).

De même, l’option (B) dit que cette longueur est égale à 𝑛 fois 𝜆 fois 𝑑, où 𝑛 est un entier. Si nous imaginons que 𝑛 dans cette expression vaut, disons, un, alors 𝑛 fois 𝜆 fois 𝑑 se simplifie en 𝜆 fois 𝑑. Mais que se passe-t-il si 𝑑, disons, est un demi ou trois quarts ? Dans ce cas, nous dirions que les points A et C ne sont pas séparés par un certain nombre de longueurs d’onde complètes. Encore une fois parce que la valeur 𝑑 pourrait prendre n’importe quelle valeur, nous ne pouvons pas choisir la réponse (B).

Pour la même raison, nous pouvons éliminer l’option de réponse (E). 𝑛 fois 𝜆 divisé par 𝑑, où 𝑛 est un entier a le même défaut de l’option de réponse (B). Cela nous laisse les options (C) et (D) restantes.

Considérons le choix de réponse (D), qui dit que la longueur entre A et C est égale à 𝑛 fois 𝜆 divisé par deux, où 𝑛 est un entier. Puisque cette équation dit que 𝑛 pourrait être n’importe quel entier, imaginons encore une fois qu’il soit égal à un. Dans ce cas, la différence de longueur de chemin entre les points A et C serait de la moitié d’une longueur d’onde. Mais cela signifierait que si A est un pic, alors C est un creux de l’onde, plutôt que les deux soient des pics. La réponse (D) ne peut alors pas satisfaire la condition que A et C soient en phase avec le point B.

Enfin, l’option (C) dit que la longueur entre A et C est égale à 𝑛 fois 𝜆, où 𝑛 est un entier. Cela correspond à notre figure, où nous savons que la distance entre A et C est un certain nombre de longueurs d’onde, mais nous ne savons pas combien. Par conséquent, la façon la plus générale de décrire cette différence de longueur de chemin est un multiple entier de 𝜆. Cela correspond à l’option (C). La longueur du trajet parcouru par les électrons entre le point A et le point C est égale à 𝑛 fois 𝜆, où 𝑛 est un entier.

Voyons maintenant la deuxième partie de cette question.

Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre les angles 𝜃 un et 𝜃 deux ? (A) 𝜃 un est égal à 𝜃 deux. (B) 𝜃 un est supérieur à 𝜃 deux. (C) 𝜃 un est inférieur à 𝜃 deux.

Sur notre figure, nous voyons l’angle 𝜃 un identifié ici et l’angle 𝜃 deux ici. Nous voulons comprendre comment ces angles sont liés. Et pour nous aider, on nous dit que cette droite 𝐿 deux et cette droite 𝐿 un sont parallèles. Nous pouvons remarquer que 𝐿 un est alignée avec un chemin d’électrons non dévié. En d’autres termes, les électrons du faisceau d’origine traversent le cristal, ne sont pas déviés. Et ce trajet est aligné avec 𝐿 un. Cela signifie que ce chemin original non dévié du faisceau que nous avons appelé l’onde deux est également aligné avec 𝐿 un. Si on trace cette droite, on peut dire qu’elle aussi est parallèle à 𝐿 un et 𝐿 deux.

C’est utile parce que si nous regardons ce chemin ici, qui suit le chemin dévié d’un électron, nous voyons que cela nous aide à définir un angle, cet angle ici, qui est égal à 𝜃 deux. Sachant que cet angle est 𝜃 deux, considérons cette forme à quatre côtés, où l’un des angles intérieurs que nous voyons est 𝜃 un. Parce que cette figure a quatre côtés, nous savons que la somme de tous les angles intérieurs sur la figure est de 360 degrés. Nous savons que l’un de ces angles est 𝜃 un, deux de ces angles sont de 90 degrés, et l’un est un angle inconnu que nous appellerons 𝛼 pour le moment.

Tout cela nous permet d’écrire que 360 degrés est égale à 𝜃 un plus 90 degrés plus 90 degrés plus 𝛼, soit 360 degrés égale à 𝜃 un plus 180 degrés plus 𝛼. Remarquons maintenant quelque chose à propos de l’angle qui inclut 𝛼 et 𝜃 deux. Si nous suivons tout cet arc, alors cet arc définit un angle de 180 degrés. Il en est ainsi parce que l’arc commence et se termine sur deux points différents de la même droite. La mesure totale de l’angle de l’arc vert doit être de 180 degrés, donc 180 degrés est égal à 𝛼 plus 𝜃 deux. Ou en soustrayant 𝜃 deux des deux côtés de cette équation, nous constatons que 𝛼 est égal à 180 degrés moins 𝜃 deux.

Nous pouvons alors insérer ce résultat à 𝛼 dans notre expression précédente. Et cela nous donne ce résultat. Et si nous additionnons ces deux mesures à 180 degrés, nous constatons que 360 degrés égale 𝜃 un plus 360 degrés moins 𝜃 deux. Si nous soustrayons 360 degrés des deux côtés de cette équation, cette mesure s’annule entièrement de notre expression. Nous trouvons que zéro est égal à 𝜃 un moins 𝜃 deux. Ou en ajoutant 𝜃 deux aux deux côtés de l’équation pour qu’il s’annule à droite, nous découvrons que 𝜃 un est égal à 𝜃 deux. Cela correspond à notre réponse (A). Les deux angles 𝜃 un et 𝜃 deux, représentés sur notre figure, sont égaux.

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