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Vidéo de question : Simplifier la somme de deux fonctions rationnelles et déterminer son ensemble de définition Mathématiques

Simplifiez la fonction d’expression 𝑛 (𝑥) = −8 / (𝑥 - 6) + (𝑥 - 6) / (𝑥² - 6𝑥) et déterminez son ensemble de définition.

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Transcription de vidéo

Simplifiez la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 égale moins huit divisé par 𝑥 moins six plus 𝑥 moins six divisé par 𝑥 au carré moins six 𝑥 et déterminez son ensemble de définition.

À première vue, en regardant cette fonction, il semble que 𝑥 puisse prendre comme valeurs tous les nombres réels. Cependant, en regardant de plus près, nous pouvons voir que certaines valeurs de 𝑥 annuleraient les dénominateurs, ce qui nous donnerait des valeurs indéfinies.

Donc, afin de déterminer pour quelles valeurs de 𝑥 l’expression n’est pas définie, nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 qui donnent un dénominateur égal à zéro. Dans ce cas, il faut résoudre 𝑥 moins six égale zéro et aussi 𝑥 au carré moins six 𝑥 égale zéro.

En ajoutant six des deux côtés de la première équation, nous obtenons 𝑥 égal six. Donc une valeur de six pour 𝑥 nous donnerait une valeur non définie. Nous pouvons résoudre la deuxième équation 𝑥 au carré moins six 𝑥 égale zéro en factorisant d’abord par 𝑥. Cela nous donne 𝑥 multiplié par 𝑥 moins six égal à zéro. En résolvant cette équation, nous obtenons deux solutions, 𝑥 égal à zéro et 𝑥 moins six égal à zéro, ce qui nous donne 𝑥 égal à six.

Cela signifie que les deux solutions 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale six donnent des résultats indéfinis et, par conséquent, elles n’appartiennent pas à l’ensemble de définition. Nous pouvons aller plus loin en disant que l’ensemble de définition de 𝑛 de 𝑥 est égal à toutes les valeurs réelles moins les nombres zéro et six.

On nous demande également de simplifier la fonction moins huit divisé par 𝑥 moins six, plus 𝑥 moins six divisé par 𝑥 au carré moins six 𝑥. Pour cela, la première étape consiste à trouver un dénominateur commun. En factorisant 𝑥 au dénominateur du deuxième terme, on obtient 𝑥 moins six divisé par 𝑥 multiplié par 𝑥 moins six.

En multipliant le haut et le bas du premier terme par 𝑥, nous obtenons un dénominateur commun de 𝑥 multiplié par 𝑥 moins six. Comme nous avons maintenant un dénominateur commun, nous pouvons écrire une seule fraction : moins huit 𝑥 plus 𝑥 moins six divisé par 𝑥 multiplié par 𝑥 moins six.

En regroupant les termes similaires au numérateur, moins huit 𝑥 plus 𝑥 nous donne moins sept 𝑥. Et enfin, en factorisant par moins un, nous obtenons une fonction simplifiée de moins sept 𝑥 plus six, divisé par 𝑥 multiplié par 𝑥 moins six.

La fonction moins huit divisé par 𝑥 moins six, plus 𝑥 moins six divisé par 𝑥 au carré moins six 𝑥 peut donc s’écrire : moins sept 𝑥 plus six, divisé par 𝑥 multiplié par 𝑥 moins six, avec un domaine de définition égal à tous les nombres réels à l’exception de zéro et six.

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