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Vidéo de question : Simplifier les expressions comportant des nombres complexes Mathématiques

Simplifier (−12 - 4𝑖) / 2𝑖.

03:49

Transcription de vidéo

Simplifiez moins 12 moins quatre 𝑖 sur deux 𝑖.

Nous avons deux manières de diviser un nombre complexe par un nombre purement imaginaire. Réfléchissons à ces deux méthodes. La première de ces méthodes consiste à réécrire la fraction. Nous utilisons essentiellement les règles d’addition et de soustraction de fractions pour écrire moins 12 moins quatre 𝑖 sur deux 𝑖 comme étant moins 12 sur deux 𝑖 moins quatre 𝑖 sur deux 𝑖. Et maintenant, nous voyons que si nous regardons la deuxième fraction, nous pouvons la simplifier très facilement. 𝑖 divisé par 𝑖 vaut un. Ensuite, quatre divisé par deux vaut deux, donc cette deuxième fraction se simplifie et devient juste deux.

Nous pouvons également simplifier un peu notre première fraction. Nous divisons le numérateur et le dénominateur par deux. Et donc notre expression devient moins six sur 𝑖 moins deux. Mais nous avons toujours moins six sur 𝑖, ce qui nous pose quelques problèmes. Et donc nous allons utiliser l’égalité importante qui dit que 𝑖 au carré est égal à moins un. Cela signifie que si nous pouvons multiplier le dénominateur de notre fraction par 𝑖, nous obtiendrons un nombre réel. Nous aurons moins un. Mais bien sûr, nous devons faire la même chose au numérateur. Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 𝑖.

Cela nous donne moins six 𝑖 sur 𝑖 au carré moins deux. Mais nous savons maintenant que 𝑖 au carré vaut moins un. Donc, cela nous donne en fait moins six 𝑖 sur moins un moins deux. On peut alors diviser moins six 𝑖 par moins un, en se rappelant qu’un moins divisé par un moins donne un résultat positif. Et nous obtenons simplement six 𝑖 moins deux ou moins deux plus six 𝑖. Donc, c’est la première méthode. Considérons maintenant la seconde méthode.

Dans la seconde méthode, nous allons réécrire notre dénominateur purement imaginaire. Nous allons l’écrire comme zéro plus deux 𝑖 de sorte qu’il ressemble essentiellement à la forme générale d’un nombre complexe. Et puis nous rappelons que pour diviser par un nombre complexe, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Et pour trouver le conjugué, on change simplement le signe de la partie imaginaire. Ainsi, pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, son conjugué 𝑧 barre est 𝑎 moins 𝑏𝑖. Et cela signifie que le conjugué de zéro plus deux 𝑖 est égal à zéro moins deux 𝑖.

Maintenant que nous savons d’où vient ce moins deux 𝑖, nous allons nous débarrasser de tous les zéros. Et donc nous allons simplement multiplier le numérateur et le dénominateur de notre fraction par moins deux 𝑖. Commençons par le numérateur. Nous allons calculer moins deux 𝑖 fois moins 12, soit 24𝑖. Et puis nous allons calculer moins deux 𝑖 fois moins quatre 𝑖, soit huit 𝑖 au carré. Encore une fois, nous savons que 𝑖 au carré vaut moins un. Nous obtenons donc 24𝑖 plus huit fois moins un, soit 24𝑖 moins huit.

Ensuite, nous calculons la valeur du dénominateur. C’est deux 𝑖 fois moins deux 𝑖. C’est moins quatre 𝑖 au carré, ce qui peut bien sûr être écrit comme moins quatre fois moins un, qui vaut simplement quatre. Et donc, lorsque nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre fraction précédente par moins deux 𝑖, nous obtenons 24𝑖 moins huit sur quatre. Et puis nous savons que nous pouvons diviser les deux parties de notre numérateur par quatre. Nous obtenons donc six 𝑖 moins deux, ce qui est encore une fois égal à moins deux plus six 𝑖.

Bien sûr, les deux méthodes sont parfaitement correctes ici. Quoi qu’il en soit, nous voyons que nous avons simplifié moins 12 moins quatre 𝑖 sur deux 𝑖. Et nous obtenons moins deux plus six 𝑖.

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