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Vidéo de question : Déterminer un vecteur inconnu parmi un ensemble de vecteurs connaissant leur somme Mathématiques

Supposons que 𝐀 = (4, 7, −7) et 𝐁 = (−5, 1, −2), et 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝐢. Que vaut 𝐂.

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Transcription de vidéo

Soit le vecteur 𝐀, de coordonnées quatre, sept, moins sept et le vecteur 𝐁, de coordonnées moins cinq, un, moins deux, tels que 𝐀 plus 𝐁 plus 𝐂 égale 𝐢. Que vaut 𝐂?

Pour répondre à cette question, il est nécessaire de comprendre les notations utilisées pour représenter les vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐢, ainsi que de de savoir comment calculer la somme de trois vecteurs. On peut représenter tout vecteur 𝐕 en écrivant ses coordonnées entre parenthèses. Les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont donnés sous cette forme dans l’énoncé. Tout vecteur peut aussi s’écrire comme une combinaison linéaire des trois vecteurs unitaires orthogonaux deux à deux, 𝐢, 𝐣 et 𝐤, en multipliant chaque vecteur unitaire par la composante correspondante du vecteur.

En fait, on peut considérer la première notation comme une version raccourcie de la seconde. Dans le membre de droite de l’équation, on a utilisé la seconde notation pour représenter le vecteur 𝐢, où 𝑉 un égale un, 𝑉 deux égale zéro et 𝑉 trois égale zéro. Par conséquent, le vecteur de coordonnées un, zéro, zéro est équivalent au vecteur 𝐢. De la même manière, le vecteur zéro, un, zéro est 𝐣 et le vecteur zéro, zéro, un est 𝐤.

Dans tous les cas, lorsqu’on additionne des vecteurs, on additionne toujours composante par composante. Autrement dit, on rassemble tous les coefficients de 𝐢 dans un même terme, tous les coefficients de 𝐣 dans un deuxième terme et tous les coefficients de 𝐤 dans un troisième terme. De la même manière, lorsqu’on utilise la première notation, on rassemble en un seul terme les coordonnées qui apparaissent à la même position dans chacun des vecteurs. Pour nous entraîner à utiliser ces deux notations, nous utiliserons la première pour effectuer la somme et la seconde pour donner notre réponse finale.

On ne connaît pas les valeurs des coordonnées du vecteur 𝐂, alors on les note 𝐶 un, 𝐶 deux et 𝐶 trois. Nous sommes maintenant prêts à faire notre addition. N’oublions pas qu’il faut calculer chacune des coordonnées séparément. Pour calculer la première coordonnée, on prend la première coordonnée de chacun de nos trois vecteurs: quatre pour 𝐀, moins cinq pour 𝐁 et 𝐶 un pour 𝐂. Pour calculer la deuxième coordonnée, on prend la deuxième coordonnée de chacun de nos vecteurs: sept, un et 𝐶 deux. Enfin, pour calculer la troisième coordonnée, on prend la troisième coordonnée de chacun de nos vecteurs: moins sept, moins deux et 𝐶 trois.

On peut maintenant simplifier. Quatre plus moins cinq est égal à moins un. Sept plus un est égal à huit. Et moins sept plus moins deux est égal à moins neuf. Donc, les coordonnées de 𝐀 plus 𝐁 plus 𝐂 sont moins un plus 𝐶 un, huit plus 𝐶 deux et moins neuf plus 𝐶 trois. Et on sait que le vecteur résultant de cette somme est égal au vecteur 𝐢, dont les coordonnées sont un, zéro, zéro. On rappelle que deux vecteurs sont égaux si leurs coordonnées correspondantes sont égales, donc pour vérifier que deux vecteurs sont égaux, on procède coordonnée par coordonnée, de la même manière que pour additionner ou soustraire deux vecteurs.

Donc, pour que 𝐀 plus 𝐁 plus 𝐂 soit égal à 𝐢, la première coordonnée, moins un plus 𝐶 un, doit être égale à un, la première coordonnée de 𝐢; la deuxième coordonnée, huit plus 𝐶 deux, doit être égale à zéro, la deuxième coordonnée de 𝐢 et la troisième coordonnée, moins neuf plus 𝐶 trois, doit être égale à zéro, la troisième coordonnée de 𝐢. On peut maintenant résoudre chacune de ces trois équations pour déterminer les trois coordonnées du vecteur 𝐂.

Dans la première équation, on additionne un des deux côtés et on trouve que 𝐶 un est égal à deux. Dans la deuxième équation, on soustrait huit des deux côtés et on trouve que 𝐶 deux est égal à moins huit. Enfin, dans la troisième équation, on additionne neuf des deux côtés et on trouve que 𝐶 trois est égal à neuf. On doit maintenant écrire notre vecteur à partir de nos trois coordonnées; si on utilisait la première notation, il suffirait de remplacer les coordonnées trouvées dans notre expression de 𝐂, mais on choisit d’utiliser la seconde notation.

Dans ce cas, chacune de nos coordonnées devient le coefficient du vecteur unitaire correspondant, ce qui nous donne que 𝐂 est égal à deux 𝐢 moins huit 𝐣 plus neuf 𝐤.

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