Vidéo de question : Déterminer la limite en un point d’un quotient de fonctions trigonométrique et affine Mathématiques

Transcription de vidéo

Calculez la limite quand 𝑥 tend vers zéro de six moins trois 𝑥, le tout divisé par le cosinus de cinq 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de calculer la limite du quotient de deux fonctions quand 𝑥 tend vers zéro. La première chose à faire quand on nous demande de déterminer une limite comme celle-ci est de se demander: si on peut utiliser la substitution directe?

On peut voir qu’on nous demande de calculer la limite d’un quotient. Supposons que 𝑓 de 𝑥 est un quotient de deux fonctions, 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥. Supposons qu’on peut déterminer la limite de 𝑔 et ℎ par substitution directe quand 𝑥 tend 𝑎 Et supposons que notre dénominateur ℎ de 𝑎 est différent de zéro. Alors, on sait que l’on peut déterminer la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎 par substitution directe.

Dans notre cas, le numérateur, 𝑔 de 𝑥, est la fonction six moins trois 𝑥 et le dénominateur, ℎ de 𝑥, est la fonction cosinus de cinq 𝑥. Donc on doit vérifier s’il est possible de déterminer la limite de 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 par substitution directe quand 𝑥 tend vers 𝑎. Et on doit également vérifier si ℎ de 𝑎 est différent de zéro. Si on parvient à montrer que tout cela se vérifie, alors on pourra calculer la limite de notre quotient par substitution directe.

Commençons par notre numérateur, 𝑔 de 𝑥. Notre numérateur 𝑔 de 𝑥 est égal à six moins trois 𝑥, donc c’est une fonction affine et par conséquent un polynôme. Et on sait qu’on peut utiliser la substitution directe pour déterminer la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de n’importe quel polynôme, pour tout réel 𝑎. Donc on peut calculer la limite quand 𝑥 tend vers zéro de notre numérateur, 𝑔 de 𝑥, par substitution directe.

Il faut maintenant montrer qu’on peut également utiliser la substitution directe pour notre dénominateur, ℎ de 𝑥. Notre fonction ℎ de 𝑥 est égale au cosinus de cinq 𝑥, donc c’est une fonction trigonométrique. On sait qu’on peut déterminer la limite de toute fonction trigonométrique par substitution directe à condition que la valeur vers laquelle 𝑥 tend appartienne à l’ensemble de définition de la fonction. Dans notre cas, on considère la limite quand 𝑥 tend vers zéro. Donc notre valeur de 𝑎 est égale à zéro. Et on sait que le cosinus de cinq 𝑥 est défini pour toute valeur réelle de 𝑥. Il en découle que zéro appartient à l’ensemble de définition de cette fonction. Donc, on a montré que pour 𝑎 égale zéro, on peut utiliser la substitution directe pour déterminer la limite quand 𝑥 tend vers zéro de notre dénominateur, ℎ de 𝑥.

Il nous reste encore à vérifier si ℎ de zéro est différent de zéro. On peut calculer ℎ de zéro directement. ℎ de zéro est égal au cosinus de cinq fois zéro, donc au cosinus de zéro, dont on sait qu’il vaut un. Par conséquent, ℎ de zéro n’est pas nul. On en déduit qu’on peut utiliser la substitution directe pour calculer notre limite. Donc on remplace 𝑥 par zéro dans notre fonction 𝑓 de 𝑥, qui est le quotient de 𝑔 de 𝑥 par ℎ de 𝑥. Cela nous donne six moins trois fois zéro divisé par le cosinus de cinq fois zéro.

Il ne nous reste plus qu’à calculer cela. Notre numérateur, six moins trois fois zéro, est égal à six moins zéro, donc à six. Et notre dénominateur, le cosinus de cinq fois zéro, est égal au cosinus de zéro, qui vaut un. Cela nous donne six divisé par un, ce qui est égal à six. On a montré que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de six moins trois 𝑥 divisé par le cosinus de cinq 𝑥 est égale à six.