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Vidéo de question : Étude de l’équilibre d’une barre horizontale sous l’action de forces parallèles Mathématiques

Une barre uniforme AB pèse 70 N et a une longueur de 95 cm. Elle est suspendue à ses extrémités par deux cordes verticales, où 𝑇₁ est la tension de la corde en A, et 𝑇₂ est la tension de la corde en B. Un poids de 100 N est suspendu depuis la barre, 30 cm éloigné de A, et un poids de 93 N est suspendu depuis la barre, 20 cm éloigné de B. Déterminez les valeurs de 𝑇₁ et 𝑇₂.

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Transcription de vidéo

Une barre uniforme AB pèse 70 newtons et a une longueur de 95 centimètres. Elle est suspendue à ses extrémités par deux cordes verticales, où 𝑇 un est la tension de la corde en A, et 𝑇 deux est la tension de la corde en B. Un poids de 100 newtons est suspendu depuis la barre, 30 centimètres éloigné de A, et un poids de 93 newtons est suspendu depuis la barre, 20 centimètres éloigné de B. Déterminez les valeurs de 𝑇 un et 𝑇 deux.

Commençons par faire un schéma. Voici la barre AB suspendue par deux cordes verticales. Nous avons des forces de tension 𝑇 un et 𝑇 deux agissant vers le haut respectivement en A et en B. Comme la barre est uniforme, nous pouvons représenter le poids de 70 newtons exactement au milieu de la barre. C’est-à-dire à 47,5 centimètres de A ou de B. Nous avons ensuite un poids de 100 newtons, qui est suspendu à 30 centimètres de A et un poids de 93 newtons à 20 centimètres de B. Maintenant, à un certain point, nous allons calculer des moments. Et comme nous connaissons déjà les distances des points d’application des forces de 100 newtons et 70 newtons au point A, calculons la distance du point d’application de la force de 93 newtons au point A. La barre mesure 95 centimètres, c’est donc 95 moins 20, soit 75 centimètres. La force de 93 newtons s’applique donc à 75 centimètres de A.

Nous cherchons à déterminer maintenant les valeurs de 𝑇 un et 𝑇 deux. Et alors nous supposons que la barre est en équilibre, donc nous pouvons citer deux propriétés. Premièrement, si la barre est en équilibre, la somme de ses forces est nulle. Plus précisément, la somme des forces verticales doit être nulle et la somme des moments doit également être nulle. Commençons par calculer les moments au point A. Nous allons considérer le sens inverse des aiguilles d’une montre comme sens positif. Et rappelons qu’un moment est égal à 𝐹𝑑, où 𝐹 est la force agissant en un point et 𝑑 est la distance perpendiculaire de la ligne d’action de la force au point autour duquel l’objet va tourner.

Bien sûr, nous avons 𝑇 deux qui agit en B. Ce point est situé à 95 centimètres de A, donc le moment ici est 𝑇 deux fois 95. Ensuite, dans le sens opposé, nous avons cette force de 93 newtons, son moment est donc négatif. Nous obtenons moins 93 fois 75. De même, la force du poids sera négative, car il s’agit de faire tourner la barre dans le sens des aiguilles d’une montre. La force vaut 70 et la distance est de 47,5. Le moment est donc moins 70 fois 47,5. Finalement, nous considérons la force de 100 newtons. Encore une fois, le moment ici est négatif et nous obtenons donc moins 100 fois 30. Bien sûr, la somme de tous ces moments vaut zéro, nous obtenons donc une équation qui dépend uniquement de 𝑇 deux. Notons que nous n’avons pas inclus le moment lié à 𝑇 un. Et c’est parce que 𝑇 un s’exerce à zéro centimètre de A et donc le moment est simplement 𝑇 un fois zéro, ce qui fait zéro.

Et en simplifiant un peu, nous obtenons 95𝑇 deux moins 6975 moins 3325 moins 3000 égal à zéro. En additionnant tous les termes constants, nous obtenons moins 13300. Nous ajoutons donc 13300 aux deux membres de notre équation. Pour déterminer 𝑇 deux, nous allons diviser par 95. 13300 divisé par 95 donne 140. On peut donc dire que 𝑇 deux est égale à 140 newtons. Mais, nous devons encore calculer la valeur de 𝑇 un. Nous allons donc déterminer la somme des forces verticales. Bien sûr, leur somme sera égale à zéro. Considérons le sens ascendant comme la sens positif. Et alors nous avons 𝑇 un plus 𝑇 deux. Ensuite, dans le sens opposé, nous avons les forces de 100 newtons, 70 newtons et 93 newtons.

Alors la somme des forces agissant selon la direction verticale est donc 𝑇 un plus 𝑇 deux moins 100 moins 70 moins 93. Et c’est bien sûr égal à zéro. Cependant, nous venons de déterminer que 𝑇 deux vaut 140. Et alors en simplifiant cette équation, nous obtenons 𝑇 un moins 123 égale à zéro. Pour déterminer 𝑇 un, nous allons enfin ajouter 123 aux deux membres de l’équation. Et donc 𝑇 un vaut 123 ou 123 newtons. 𝑇 un vaut donc 123 newtons et 𝑇 deux vaut 140 newtons.

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