Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Puissances fractionnaires

Ici, nous introduisons et expliquons la dérivation et l’utilisation de puissances fractionnaires, ou exposants rationnels, à travers une série d’exemples de plus en plus complexes.

14:37

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner les puissances fractionnaires ou parfois ils sont appelés « exposants rationnels » selon l’endroit où vous vivez. Il s’agit donc de situations où nous avons quelque chose à la puissance autre chose ; que quelque chose d’autre est une fraction ou une expression rationnelle. Donc, un sur 𝑎 ou 𝑎 sur 𝑏 ou un tiers ou deux tiers ou les trois quarts, et ainsi de suite. Tout d’abord, vous devez déjà connaître les puissances ou les indices ou la notation des exposants. Nous avons une base. Et le nombre en exposant nous indique combien de fois écrire un nombre de base et les multiplier ensemble. Donc, trois carrés signifie trois fois trois ; écris trois fois deux et multiplie-les ensemble. Trois au cube signifie trois fois trois fois trois ; écrivez les trois trois fois et multipliez-les ensemble.

Vous devez également vous rappeler la règle d’addition des puissances. Donc, si nous avons trois à la puissance quatre fois trois à la puissance cinq, cela signifie trois fois trois fois trois fois trois fois trois fois trois fois trois fois trois fois trois fois trois. Nous avons donc quatre multipliés ici et cinq multipliés ici. Nous pouvons donc écrire cela comme trois à la puissance quatre plus cinq en ajoutant les puissances, ce qui nous donne trois à la puissance neuf au total. Donc, nous pouvons résumer cela en disant que lorsque nous multiplions des nombres sous forme de puissance avec la même base, nous pouvons simplement additionner les puissances ensemble. Un autre exemple rapide pour vous assurer que vous vous souvenez de tout cela : si nous avions cinq à la puissance sept fois cinq à la puissance douze, nous ajoutons simplement les sept et douze ; nous avons obtenu dix-neuf cinq multipliés ensemble.

Et maintenant sur le point principal de cette vidéo — puissances fractionnaires ou exposants rationnels. Bon, commençons par regarder un petit exemple.

Évaluez neuf à la puissance un demi fois neuf à la puissance un demi. Eh bien, lorsque vous multipliez des nombres avec des puissances dans la même base, nous avons juste besoin d’ajouter les puissances. Donc, neuf à la puissance un demi fois neuf à la puissance un demi est égal à ? Donc, neuf à la puissance d'une demi-fois fois [neuf] à la puissance un demi est neuf à la puissance un demi plus un demi, ce qui est neuf à la puissance un qui bien sûr est simplement égal à neuf. Nous avons donc quelque chose, neuf à la puissance un demi, fois lui-même, neuf à la puissance un demi et cela nous donne une réponse de neuf. Eh bien, qu’est-ce que lorsque nous le multiplions par lui-même, nous obtenons une réponse de neuf ? De toute évidence, c’est trois ; donc neuf à la puissance un demi doit être trois. Maintenant, une chose à savoir un peu, beaucoup de gens voient neuf à la puissance un demi et pensent que cela signifie neuf fois un demi, ce qui serait quatre et demi. Mais nous venons de voir que ce n’est pas vrai. C’est donc probablement la plus grosse erreur que les gens font ici ; alors faites attention à ne pas faire cette erreur.

Donc, si nous regardons en arrière notre exemple, ce que nous décrivons ici trois fois trois est égal à neuf. Nous décrivons vraiment les racines carrées. Qu’est-ce que lorsque nous le multiplions par lui-même, nous obtenons un autre nombre ? Nous parlons de racines carrées ; donc neuf à la puissance un demi qui est trois est égal à la racine carrée de neuf. C’est la définition : quand nous avons quelque chose à la puissance un demi, cela signifie la racine carrée de ce nombre. Donc 𝑥 à la puissance un demi, un nombre à la puissance un demi, signifie la racine carrée de 𝑥, la racine carrée de ce nombre. C’est le principal point d’apprentissage de cette partie de la vidéo. Maintenant, c’est parce que quand je multiplie 𝑥 à la puissance la moitié par lui-même, ce que je finis par faire est d’ajouter ces puissances ensemble et d’obtenir 𝑥 à la puissance l’un, qui est juste 𝑥. Donc, quand je multiplie quelque chose par lui-même, j’obtiens 𝑥 ; cela doit signifier que cette chose est la racine carrée de 𝑥.

Bon, passons à cet exemple.

Évaluez vingt-sept à la puissance un tiers fois vingt-sept à la puissance un tiers fois vingt-sept à la puissance un tiers. Eh bien, c’est juste vingt-sept à la puissance un tiers plus un tiers plus un tiers, qui est vingt-sept à la puissance un qui est juste vingt-sept. Cela signifie donc que quelque chose se répète et se répète nous donne une réponse de vingt-sept. Et c’est encore trois en fait ; trois fois trois font neuf fois trois font vingt-sept. Donc vingt-sept à la puissance un tiers doit être égal à trois. Et ce que nous avons fait, c’est que nous avons montré que vingt-sept à la puissance un tiers signifie la racine cubique de vingt-sept. Qu’est-ce que ce nombre qui quand je le multiplie par lui-même, puis par lui-même à nouveau me donne vingt-sept ? C’est la définition des racines cubiques. Donc 𝑥 à la puissance un tiers fois 𝑥 à la puissance un tiers fois 𝑥 à la puissance un tiers signifie à nouveau 𝑥 à la puissance un tiers plus un tiers plus un tiers, qui est 𝑥 à la puissance un qui est juste 𝑥. C’est la définition des racines cubiques. Maintenant, en général, cela signifie que 𝑥 à la puissance un sur 𝑎 est la racine 𝑎 ième de 𝑥. Donc, si j’avais cinq à la puissance un sur sept, nous chercherions la racine septième de cinq.

Et un autre exemple, trente-deux à la puissance un cinquième est égal à la racine cinquième de trente-deux, qui est égale à deux parce que deux fois deux fois deux fois deux fois deux fois deux est égal à trente-deux. C’est parce que quand je multiplie trente-deux à la puissance un cinquième fois trente-deux à la puissance un cinquième fois trente-deux à la puissance un cinquième fois trente-deux à la puissance un cinquième fois trente-deux à la puissance un cinquième, je dois juste ajouter les puissances ensemble. Un cinquième plus un cinquième plus un cinquième plus un cinquième plus un cinquième n’est qu’un ; c’est donc trente-deux à la puissance un ou juste trente-deux. Et qu’est-ce que lorsque je multiplie par lui-même et par lui-même à nouveau par lui-même à nouveau par lui-même j’obtiens une réponse de trente-deux ? Eh bien, c’est la racine cinquième de trente-deux. Et comme nous l’avons dit précédemment, c’est en fait deux parce que deux fois deux fois deux fois deux fois deux est égal à trente-deux.

D’accord, j’espère que ça va. Voyons maintenant des exemples comme celui-ci : huit à la puissance deux sur trois. Nous allons voir ce que cela signifie. Eh bien, nous venons de voir que le nombre au bas de la fraction de la puissance nous dit de quelle racine il s’agit ; nous avons donc trois. Ainsi, trois sur le dénominateur nous dit ici que c’est une racine cubique et les deux sur le numérateur de la puissance nous dit que nous allons ce carré. Si c’était un cinq au-dessus de cette fraction là, ce serait à la puissance cinq. Donc, une autre façon d’écrire cela : nous regardons la racine du cube ; c’est donc la racine cubique de huit, puis nous équerrons cette réponse ; c’est donc la racine cubique de huit tous au carré. En fait, nous obtiendrions la même réponse si nous faisions cela ici - si nous prenions huit carrés et prenions ensuite la racine cubique de cela. Mais la première version de ceux-ci est généralement la plus facile à utiliser : nous prenons la racine cubique de huit en premier, nous obtenons un nombre plus petit, puis nous le cadrons ; c’est plus facile que d’essayer de trouver la racine cubique d’un plus grand nombre, huit au carré.

Mais vérifions juste cela. Donc, dans ce cas, la racine cubique de huit est deux ; c’est donc ici deux carrés, ce qui est égal à quatre. Et dans l’autre cas, la racine cubique de huit carrés, huit carrés est de soixante-quatre. Et nous recherchons la racine cubique de soixante-quatre, donc quatre fois quatre fois quatre font soixante-quatre. Cela nous donnerait donc également une réponse de quatre. Je suis juste pour vous montrer que vous obtiendrez toujours la même réponse, quelle que soit l’approche que vous utiliserez. Alors regardons cela d’une manière légèrement différente : huit à la puissance des deux tiers. Eh bien, c’est la même chose que huit à la puissance un tiers plus un tiers. Donc, un tiers plus un tiers sont clairement les deux tiers. Et nous savons de notre règle d’addition que huit à la puissance un tiers plus un tiers est égal à huit à la puissance un tiers fois huit à la puissance un tiers. Eh bien, c’est huit à la puissance un tiers tous les carrés au carré lui-même, et nous avons dit que huit à la puissance un tiers est la racine cubique de huit. J’espère donc que tout est logique.

D’accord, essayons simplement quelques exemples et voyons cela en action. Donc, évaluez cent à la puissance cinq sur deux. Eh bien, ça va être la racine carrée de cent le tout à la puissance cinq parce que nous avions un deux sur le dénominateur et un cinq sur le numérateur. Ainsi, la racine carrée de cent est dix et dix à la puissance cinq est cent mille ; il y a donc notre réponse. Donc le suivant est vingt-sept à la puissance quatre sur trois. Nous avons donc une puissance fractionnaire de quatre sur le dessus, cela va être à la puissance quatre. Trois en bas signifie que nous allons prendre la racine cubique ; c’est donc la racine cubique de vingt-sept le tout à la puissance quatre. Et la racine cubique de vingt-sept est simplement égale à trois ; c’est donc trois à la puissance quatre. Et trois à la puissance quatre signifie trois fois trois fois trois fois trois. Donc, trois fois trois font neuf, trois fois trois font neuf et neuf neuf font quatre-vingt-un.

D’accord, secouons-le un peu et espérons vous effrayer un peu. Essayons donc avec une base fractionnaire ainsi qu’une puissance fractionnaire. Huit sur vingt-sept à la puissance deux sur trois. Maintenant, nous n’avons pas besoin de paniquer parce que lorsque nous avons des fractions de puissances, c’est juste le numérateur de ce puissance sur le dénominateur de ce puissance. Il y a donc cette première étape, puis les trois sur le dénominateur de la puissance signifient que c’est la racine cubique et les deux sur le numérateur de la puissance signifie qu’elle est au carré. Donc, en haut ici, nous avons la racine cubique de huit tous carrés et en bas ici, nous avons la racine cubique de vingt-sept tous carrés. Maintenant, je recommanderais vraiment d’écrire toutes ces étapes au fur et à mesure, en particulier dans un test ou un examen ; sinon, il est si facile de perdre de vue la signification de ces chiffres. Maintenant, la racine cubique de huit est deux ; de sorte que devient deux carrés sur le dessus et la racine cubique de vingt-sept est de trois ; de sorte que cela devient trois carrés au fond. Et deux au carré, c’est quatre ; trois au carré est neuf. Notre réponse est donc quatre sur neuf.

Bon, prenons un dernier exemple alors. Nous allons jeter des décimaux dans le mélange aussi bien maintenant. Les décimaux peuvent être représentées sous forme de fractions. Et je recommanderais fortement que c’est ainsi que nous abordons celui-ci : zéro virgule un deux cinq est un sur huit. Nous pouvons donc réécrire cette question comme ceci ; c’est donc un sur huit à la puissance cinq sur trois. Et encore une fois, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur ; c’est donc un à la puissance cinq sur trois en haut et huit à la puissance cinq sur trois en bas. Ainsi, les trois sur le dénominateur de la puissance signifient la racine cubique et les cinq signifient la puissance cinq ; nous avons donc la racine cubique d’un le tout à la puissance cinq sur la racine cubique de huit à la puissance cinq. Maintenant, peu importe combien de fois je divise un par lui-même ou le multiplie par lui-même ; Je suis toujours va obtenir une réponse d’un. Je sais donc que le numérateur il y en a un ; la racine cubique de huit est deux. Et nous devons faire deux à la puissance cinq, et quand je fais deux fois deux fois deux fois deux fois deux, j’obtiens une réponse de trente-deux ; c’est donc un sur trente-deux.

Nous avons donc introduit l’idée de puissances fractionnaires. Et nous sentons des questions vraiment assez délicates ; nous ressentons également des questions assez basiques. Mais nous avons également inclus des bases fractionnaires et des bases décimales, mais la règle de base est exactement comme ceci 𝑥 à la puissance un sur 𝑎 est égale à la racine 𝑎 ième de 𝑥. Ainsi, par exemple, neuf à la puissance un demi est la racine carrée de neuf. Nous en avons deux sur le dénominateur de la puissance ; c’est donc la racine carrée de neuf, et la racine carrée de neuf est trois. Et si nous avons des paires fractionnaires qui ressemblent à ceci, 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑏, donc le numérateur de la puissance n’est pas un. Cela signifie que la racine 𝑏 ième de 𝑥 le tout à la puissance 𝑎 ou nous pourrions faire 𝑥 à la puissance 𝑎 en premier et prendre la racine 𝑏 ième de cela.

Le problème ici est que cette version est généralement plus facile à utiliser car vous vous retrouvez avec de plus petits nombres avec lesquels travailler en premier lieu. Ainsi, par exemple, seize à la puissance trois quarts signifie la racine quatrième de seize parce que les quatre sont sur le dénominateur de la puissance et ensuite nous prenons cette réponse et le cube. C’est deux à la puissance trois et deux à la puissance trois est huit. Juste pour vous montrer rapidement que l’autre façon de procéder aurait été la racine quatrième de seize au cube et seize au cube, soit quatre mille quatre-vingt-seize. Nous chercherions la racine quatrième de quatre mille quatre-vingt-seize. Maintenant, je vous laisse faire un peu de travail sur votre calculatrice juste pour vérifier qu’il s’agit bien de huit.

Et enfin, si nous avons une fraction à la puissance une autre fraction, nous avons 𝑥 sur 𝑦 tout à la puissance 𝑎 sur 𝑏. Donc, ce que je recommande fortement, c’est de diviser la fraction entre la moitié supérieure et la moitié inférieure. Donc, c’est le numérateur 𝑥 puissance 𝑎 sur 𝑏 et nous avons 𝑦 puissance 𝑎 sur 𝑏. Maintenant, 𝑥 puissance 𝑎 sur 𝑏 est la racine 𝑏 ième de 𝑥 tout à la puissance 𝑎 et 𝑦 puissance 𝑎 sur 𝑏 est la racine 𝑏 ième de 𝑦 tout à la puissance 𝑎. Nous pouvons utiliser cet autre format ici encore, mais ils vont nous donner sans doute un nombre plus difficile à travailler. Je recommanderais donc certainement d’utiliser la première plutôt que la deuxième version de cela.

Et juste un exemple rapide de celui-ci, si nous avions quatre sur neuf à la puissance trois sur deux, c’est la racine carrée de quatre parce que nous avons un deux au dénominateur de la puissance et qui est au cube parce que j’ai obtenu un trois sur le numérateur de la puissance ; c’est donc le premier nombre ici. Et puis au bas de cette fraction, nous avons les neuf. Nous prenons la racine carrée de neuf et nous réduisons cette réponse. Et la racine carrée de quatre est deux ; de sorte que le nombre supérieur devient deux au cube. Et la racine carrée de neuf est trois ; de sorte que le nombre inférieur devient trois au cube. Et deux au cube font huit et trois au cube font vingt-sept. Voilà donc à peu près des puissances fractionnaires. Il est temps pour vous d’aller faire quelques exercices par vous-même maintenant. Bonne chance !

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.