Vidéo : Théorème des accroissements finis

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à interpréter et à utiliser le théorème des accroissements finis et le théorème de Rolle.

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment interpréter et utiliser le théorème des accroissements finis et le théorème de Rolle. Nous allons commencer par envisager comment fonctionne le théorème de Rolle. Et comment il nous conduit au théorème des accroissements finis, avant de voir un certain nombre d’exemples de l’application de ce théorème. Le théorème de Rolle a été publié pour la première fois en 1691 par le mathématicien français Michel Rolle. Il a été critique virulent de l’analyse, la qualifiant d’inexacte et d’une collection d’erreurs ingénieuses, bien qu’il n’ait finalement changer son opinion.

Le théorème de Rolle dit que si 𝑓 est une fonction qui répond aux trois hypothèses suivantes. C’est-à-dire qu’elle est continue sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 et dérivable sur l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Et 𝑓 de 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑏. Ensuite, il existe un nombre 𝑐 dans l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏, tel que la dérivée de 𝑓 évaluée en 𝑐, c’est-à-dire 𝑓 prime de 𝑐, est égale à zéro. En d’autres termes, si la fonction satisfait à ces critères, alors il y a un point sur le graphique dans cet intervalle fermé pour lequel le coefficient directeur de la courbe est nul. La tangente de la courbe en ce point est horizontale. Cela a également une signification physique claire. Si un corps se déplace le long d’une ligne droite et après un certain temps, il retourne au point de départ. Alors il y a un instant durant cette période de temps où la vitesse instantanée du corps doit être égale à zéro.

Or, ce théorème est rarement utilisé car il nous dit qu’une solution existe, mais pas comment y parvenir. Il est cependant trop utile pour nous aider à dériver le théorème des accroissements finis. Jetons un coup d’œil à cela. Ce théorème a été énoncé pour la première fois par un autre mathématicien français, Joseph-Louis Lagrange. Bien que nous ne sachions pas s’il était aussi critique envers le calcul que Michel Rolle. Il dit que si 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue sur un certain intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 et dérivable en chaque point d’un certain intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Alors il existe un point 𝑐 dans cet intervalle ouvert. Tel que la valeur de la dérivée de 𝑓 en 𝑐, c’est-à-dire 𝑓 prime de 𝑐, est égale à 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Notez que ce côté droit est essentiellement la formule du coefficient directeur. 𝑚 égale 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, exprimé en notation de fonction. Et ce que cette formule nous dit donc, c’est qu’il y existe une certaine valeur 𝑥 dans l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏, où le coefficient directeur de la tangente est le même que le coefficient directeur de la sécante passant par les deux points aux extrémités de l’intervalle fermé. Prouvons-le.

Soit 𝑔 de 𝑥 la droite sécante à la droite 𝑓 de 𝑥 qui passe par les deux extrémités de notre intervalle fermé en 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑏, 𝑓 de 𝑏. Nous pouvons chercher pour déterminer l’équation pour 𝑔 de 𝑥 en utilisant la formule pour l’équation d’une droite. C’est 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Nous pouvons définir 𝑥 un égale 𝑎. Et ainsi 𝑦 un égale 𝑓 de 𝑎. Nous pouvons aussi changer 𝑦 en 𝑔 de 𝑥. Et nous savons que le coefficient directeur 𝑚 est donné par la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. C’est 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Et nous obtenons 𝑔 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑎 égale 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Et nous pouvons résoudre pour 𝑔 de 𝑥 en ajoutant 𝑓 de 𝑎 des deux côtés.

Ensuite, nous présentons une nouvelle fonction ℎ. Et ceci est défini comme la distance verticale entre 𝑓 de 𝑥 et la droite sécante 𝑔 de 𝑥. Donc ℎ de 𝑥 est définie comme 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥. Notre prochaine tâche est de substituer l’expression 𝑔 de 𝑥 dans cette équation pour ℎ de 𝑥. Mais en quoi est-ce utile ? Eh bien, notez que les valeurs de ℎ de 𝑎 et de ℎ de 𝑏 sont égales. Elles sont toutes les deux nulles puisque la distance verticale entre la fonction 𝑓 de 𝑥 et la droite sécante est nulle en ces extrémités. Et maintenant nous devrions nous rappeler le théorème de Rolle. ℎ de 𝑥 est continue et dérivable sur l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Et donc il doit exister une valeur de 𝑥, 𝑐 dans cet intervalle, telle que ℎ prime de 𝑐, la dérivée de ℎ évaluée en 𝑐, soit égale à zéro. Dérivons donc les deux côtés de l’équation.

Le dérivé de ℎ est ℎ prime. Et le dérivé de 𝑓 est 𝑓 prime. Observons maintenant attentivement tout ce qui se trouve à l’intérieur de cette parenthèse. Lorsque nous distribuons ces parenthèses, nous nous retrouvons avec ce quotient, qui est une constante multipliée par 𝑥 et ensuite multipliée par une autre constante. De même, 𝑓 de 𝑎 est aussi une constante. Nous savons que la dérivée d’une constante est zéro. Et nous savons aussi que la dérivée d’une constante multipliée par 𝑥 est simplement cette constante. Nous voyons donc que ℎ prime de 𝑥 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Du théorème de Rolle, on peut dire que ℎ prime de 𝑐 doit être égale à 𝑓 prime de 𝑐 moins 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎, qui doit être égale à zéro. Et nous avons prouvé le théorème des accroissements finis. Si nous résolvons pour 𝑓 prime de 𝑐, nous obtenons 𝑓 prime de 𝑐 égale 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎.

Maintenant que nous avons prouvé le théorème des accroissements finis, allons voir un exemple de la façon de déterminer où le théorème est réellement appliqué.

Le théorème des accroissements finis s’applique-t-il à la fonction 𝑦 égale deux 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 plus sept sur l’intervalle fermé de zéro à cinq ?

Pour utiliser le théorème des accroissement finis, deux choses doivent être vraies à propos de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Elle doit être continue sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. Et elle doit pouvoir être dérivée sur l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Eh bien, la fonction deux 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 plus sept est en effet continue sur l’intervalle fermé de zéro à cinq. C’est un simple graphique cubique qui ressemble un peu à ceci sur notre intervalle fermé. Et pour vérifier la deuxième condition, nous allons voir ce qui se passe lorsque nous dérivons par rapport à 𝑥. La dérivée de deux 𝑥 au cube est trois fois deux 𝑥 au carré. C’est six 𝑥 au carré. Et la dérivée de moins quatre 𝑥 est moins quatre. On obtient donc d𝑦 par d𝑥 égale six 𝑥 au carré moins quatre. Celle-ci est en effet définie sur l’intervalle ouvert de zéro à cinq. Et nous pouvons dire que oui, le théorème des accroissements finis s’applique bien. Cet exemple montre qu’il suffit de vérifier les conditions requises pour que le théorème des accroissements finis puisse être utilisé pour une fonction donnée.

Voyons maintenant un exemple de la façon dont nous pourrions l’utiliser.

Pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins quatre 𝑥, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑐 qui vérifient le théorème des accroissements finis sur l’intervalle fermé moins deux à deux.

Rappelez-vous, le théorème des accroissements finis dit que si 𝑓 est une fonction continue sur un certain intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, et dérivable en tout point d’un certain intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Alors il existe un point 𝑐 appartenant à cet intervalle ouvert tel que 𝑓 prime de 𝑐 égale 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins quatre 𝑥. Et notre intervalle fermé est de moins 2 à 2. Nous cherchons à trouver la valeur de 𝑐 de sorte que la dérivée de notre fonction évaluée sur 𝑐 soit égale à 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. C’est 𝑓 de deux moins 𝑓 de moins deux sur deux moins moins deux. Nous allons donc faire deux choses. Nous évaluerons ce quotient. Et nous trouverons aussi une expression pour la dérivée de notre fonction. 𝑓 de deux est deux au cube moins quatre fois deux. Et 𝑓 de moins deux est moins deux au cube moins quatre fois moins deux. Et en fait, cela nous donne une valeur de zéro. Donc pour trouver les valeurs de 𝑐 de sorte que 𝑓 prime de 𝑐 soit égale à zéro, trouvons la dérivée de notre fonction.

La dérivée de 𝑥 au cube est de trois 𝑥 au carré. Et la dérivée de moins quatre 𝑥 est moins quatre. Donc 𝑓 prime de 𝑥 est trois 𝑥 au carré moins quatre. Et nous pouvons dire que 𝑓 prime de 𝑐 égale trois 𝑐 au carré moins quatre. Égalons cela à zéro et résolvons pour 𝑐. Nous commençons par ajouter quatre aux deux membres de notre équation pour obtenir trois 𝑐 au carré égale quatre. Ensuite, on divise par trois. Et nous voyons que 𝑐 au carré égale quatre tiers. Et enfin, nous prenons la racine carrée des deux côtés, en n’oubliant pas de prendre la racine carrée positive et négative de quatre tiers. On obtient que 𝑐 égale plus ou moins la racine carrée de quatre sur trois. Et ainsi égale deux sur la racine de trois et moins deux sur la racine de trois. Notez également que ces valeurs de 𝑐 appartiennent bien à l’intervalle fermé moins deux à deux comme l’exige le théorème des accroissements finis.

Pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins un à la puissance huit, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑐 qui vérifient le théorème des accroissements finis sur l’intervalle fermé de zéro à deux.

Rappelez-vous, le théorème des accroissements finis dit que si 𝑓 est une fonction continue sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, et dérivable à chaque point de l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Alors il existe un point 𝑐 dans cet intervalle ouvert, tel que 𝑓 prime de 𝑐 égale 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 moins un à la puissance huit. Et notre intervalle fermé va de zéro à deux. Nous cherchons à déterminer la valeur de 𝑐 de sorte que la dérivée de notre fonction évaluée en 𝑐 soit égale à 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. C’est 𝑓 de deux moins 𝑓 de zéro sur deux moins zéro. Nous allons donc faire deux choses. Nous évaluerons ce quotient. Et nous trouverons également une expression pour la dérivée de notre fonction et l’évaluerons en 𝑐. 𝑓 de deux moins 𝑓 de zéro est deux moins un à la puissance huit moins zéro moins un à la puissance huit. Et nous obtenons 𝑓 de deux moins 𝑓 de zéro sur deux moins zéro égale zéro divisé par deux, ce qui est juste zéro.

Notre tâche suivante est de déterminer la dérivée de notre fonction. Et nous utiliserons la règle générale de la puissance. Celle-ci dit que si 𝑔 de 𝑥 est une fonction dérivable et 𝑛 est un nombre réel constant, telle que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 à la puissance 𝑛. Alors le dérivé de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥, est égale 𝑛 fois 𝑔 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un fois la dérivée de 𝑔 de 𝑥. C’est 𝑔 prime de 𝑥. La dérivée de notre fonction 𝑥 moins un à la puissance huit est donc huit fois 𝑥 moins un à la puissance sept fois la dérivée de 𝑥 moins un, qui est un. Et ainsi nous voyons que 𝑓 prime de 𝑥 est huit fois 𝑥 moins un à la puissance sept.

Nous voyons que 𝑓 prime de 𝑐 est huit fois 𝑐 moins un à la puissance sept. Et n’oubliez pas, nous avons trouvé que 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎 est zéro. Nous allons donc l’égaler à zéro et ensuite résoudre pour 𝑐. On divise par huit. Et nous voyons que 𝑐 moins un à la puissance sept est zéro. Et nous pouvons prendre la septième racine des deux membres pour voir que 𝑐 moins un égale zéro, ce qui signifie que 𝑐 égale un est la seule valeur de 𝑐 qui vérifie le théorème des accroissements finis. Notez qu’elle appartient à l’intervalle fermé de zéro à deux, tel que requis.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment ce théorème peut être appliqué à une question contextuelle.

Une pierre est lâchée d’une hauteur de 81 pieds. Sa position 𝑡 secondes après sa chute jusqu’à ce qu’elle touche le sol est donnée par la fonction 𝑠 de 𝑡 égale moins 16𝑡 au carré plus 81. Déterminez combien de temps il faudra pour que la pierre touche le sol. Déterminez la vitesse moyenne de la pierre depuis le lâcher jusqu’à ce qu’elle touche le sol. Et déterminez le temps 𝑡 selon le théorème des accroissements définis lorsque la vitesse instantanée de la pierre est égale à la vitesse moyenne.

La pierre atteindra le sol lorsque sa position 𝑠 de 𝑡 sera égale à zéro. On peut donc égaler cette expression moins 16𝑡 au carré plus 81 à zéro et résoudre pour 𝑡. Nous ajoutons 16𝑡 au carré des deux côtés, puis divisons par 16. Et nous obtenons 𝑡 au carré égale 81 sur 16. Nous prenons ensuite la racine carrée des deux côtés, en n’oubliant pas de prendre la racine carrée positive et négative de 81 sur 16. Et nous voyons que 𝑡 égale plus ou moins neuf quarts. On peut ignorer moins neuf quarts puisque nous calculons le temps. Et nous constatons que la pierre touche le sol après neuf quarts de seconde.

Notre tâche suivante est de déterminer la vitesse moyenne de la pierre sur cette période de temps. La définition de la vitesse moyenne est le déplacement total divisé par le temps mis. Le déplacement de notre pierre est son changement de position. C’est moins 81 mètres. Et il faut neuf quarts de seconde pour aller aussi loin. La vitesse est donc moins 81 divisé par neuf sur quatre. Rappelez-vous que pour diviser par une fraction, nous pouvons multiplier par l’inverse de cette fraction. On a donc moins 81 fois quatre sur neuf. Et puis on annule ce diviseur de 9. On obtient ainsi que la vitesse moyenne de notre pierre est moins 36 pieds par seconde.

Pour la dernière partie de cette question, nous allons citer le théorème des accroissements finis. Rappelez-vous, celui-ci dit que si 𝑓 est une fonction continue sur un certain intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, et dérivable en chaque point de cet intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Alors il y a un point 𝑐 appartenant à cet intervalle, tel que 𝑓 prime de 𝑐 égale 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Nous savons que la vitesse moyenne est moins 36 pieds par seconde. C’est l’équivalent de ce quotient. La vitesse instantanée peut être déterminée en dérivant notre fonction de position. C’est 𝑠 prime de 𝑡 égale moins 32𝑡. Dans ce cas donc, on peut dire que 𝑠 prime de 𝑐 égale moins 32𝑐. Et nous obtenons l’équation négative moins 32𝑐 égale moins 36. Nous résolvons pour 𝑐 en divisant les deux membres par moins 32. Et nous trouvons que le temps auquel la vitesse instantanée de la pierre égale la vitesse moyenne est neuf huitièmes de seconde.

Dans cette vidéo, nous avons brièvement parlé du théorème de Rolle. Et nous avons dit que si une fonction 𝑓 répond à trois critères. C’est-à-dire qu’elle est continue sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, dérivable sur l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏, et 𝑓 de 𝑎 égale 𝑓 de 𝑏. Alors il existe un nombre 𝑐 dans cet intervalle ouvert tel que la valeur de la dérivée de 𝑓 en 𝑐 soit zéro. Nous avons également vu que nous pouvons utiliser le théorème de Rolle pour prouver le théorème des accroissements définis. Et celui-ci dit que si 𝑓 de 𝑥 est continue sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, et dérivable sur un intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. Alors il existe un certain nombre 𝑐 dans cet intervalle ouvert tel que 𝑓 prime de 𝑐 égale 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎.

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