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Vidéo de question : Déterminer la limite en un point de fonctions rationnelles Mathématiques

Calculez lim_(𝑥 → 0) (5𝑥²+7𝑥)/3𝑥.

01:45

Transcription de vidéo

Calculez la limite quand 𝑥 tend vers zéro de cinq 𝑥 au carré plus sept 𝑥, le tout divisé par trois 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la limite d’une fonction rationnelle. Il s’agit donc d’un quotient de deux polynômes. On rappelle qu’on peut toujours essayer de déterminer la limite d’une fonction rationnelle par substitution directe. Cependant, si on remplace 𝑥 par zéro dans notre fonction rationnelle et qu’on fait les calculs, on obtient zéro divisé par zéro. C’est une forme indéterminée. Cela signifie qu’on ne peut pas déterminer cette limite par substitution directe uniquement. On va devoir utiliser une autre méthode. Essayons de simplifier notre limite. La première chose qu’on peut remarquer est le fait que le numérateur et le dénominateur partagent un facteur commun 𝑥. Eliminer ce 𝑥 en commun simplifierait notre limite.

Et il se trouve qu’on peut simplifier par ce facteur commun. En effet, on considère la limite quand 𝑥 tend vers zéro. Ce qui signifie qu’on s’intéresse à ce qui se passe pour notre fonction quand la valeur de 𝑥 se rapproche de plus en plus de zéro. Mais notre limite quand 𝑥 tend vers zéro n’est pas affectée par la valeur prise par notre fonction en 𝑥 égale zéro. On peut aussi se dire que lorsque 𝑥 est différent de zéro, 𝑥 divisé par 𝑥 est simplement égal à un. En simplifiant par le facteur commun 𝑥 au numérateur et au dénominateur, notre limite devient la limite quand 𝑥 tend vers zéro de cinq 𝑥 plus sept, le tout divisé par trois.

Et puisque c’est maintenant la limite d’une fonction affine, on peut la calculer par substitution directe. En remplaçant 𝑥 par zéro dans notre fonction, on obtient cinq fois zéro plus sept, le tout divisé par trois, puis on simplifie pour obtenir sept sur trois, qui est notre réponse finale. Par conséquent, on a montré que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de cinq 𝑥 au carré plus sept 𝑥, le tout divisé par trois 𝑥, est égale à sept sur trois.

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