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Vidéo de question : Déterminer la distance entre deux plans Mathématiques

Déterminez, au centième près, la distance entre les deux plans d’équations 2 (𝑥 - 2) + (𝑦 - 3) + 3 (𝑧 - 1) = 0 et 𝐫 ⋅ ⟨4, 2, 6⟩ = 12.

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Transcription de vidéo

Déterminez, au centième près, la distance entre les deux plans : deux fois 𝑥 moins deux plus 𝑦 moins trois plus trois fois 𝑧 moins un égal à zéro et le produit scalaire entre le vecteur 𝐫 et quatre, deux, six est égal à 12.

On nous demande dans cette question de trouver la distance entre deux plans. Nous devons d'abord vérifier si les plans sont parallèles. Si c'est le cas, nous pouvons alors appliquer la formule de la distance perpendiculaire. Rappelons que deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Le premier plan est donné sous une forme cartésienne. En développant les parenthèses, on peut trouver les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. En utilisant ces coefficients, on peut donner le vecteur normal à ce plan comme le vecteur deux, un, trois. Quant au vecteur normal au second plan, on peut le donner comme étant le vecteur quatre, deux, six.

On constate alors que ces deux vecteurs normaux sont des multiples l'un de l'autre. Ce qui signifie que les deux plans sont parallèles. Sachant que ces deux plans sont parallèles, on peut déterminer la distance entre eux en cherchant un point situé sur l'un des plans et en calculant la distance entre ce point et l'autre plan. Nous allons trouver un point qui se situe sur le premier plan. Pour cela, on peut fixer 𝑥 à zéro et 𝑦 à zéro. On obtient alors l'équation deux fois moins deux plus moins trois plus trois 𝑧 moins trois égale à zéro. Si on simplifie, on obtient trois 𝑧 moins 10 égale à zéro, et donc 𝑧 égale à 10 sur trois. Comme on a fixé 𝑥 et 𝑦 égal à zéro, on peut affirmer que le point zéro, zéro, 10 sur trois se trouve sur ce plan.

On peut alors appliquer la formule selon laquelle la distance perpendiculaire, notée 𝐷 en majuscule, entre le point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le plan d'équation le produit scalaire entre le vecteur 𝐫 et 𝑎, 𝑏, 𝑐 égale à moins 𝑑 est donnée par 𝐷 égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐𝑧 un plus 𝑑 sur la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. On peut ainsi donner les valeurs que l'on substitue dans la formule : 𝑥 un égale à zéro, 𝑦 un égale à zéro et 𝑧 un égale à 10 sur trois. Puis, à partir du plan, on a 𝑎 est égal à quatre, 𝑏 est égal à deux et 𝑐 est égal à six. Comme la valeur de moins 𝑑 est égale à 12, alors, 𝑑 devrait être égale à moins 12.

On peut maintenant substituer ces valeurs dans la formule. Nous obtenons 𝐷 égale à la valeur absolue de quatre fois zéro plus deux fois zéro plus six fois 10 sur trois moins 12 sur la racine carrée de quatre au carré plus deux au carré plus six au carré. On peut donc simplifier cela à la valeur absolue de 20 moins 12 sur la racine carrée de 16 plus quatre plus 36. Au numérateur, la valeur absolue de 8 est 8. Au dénominateur, nous avons la racine carrée de 56. Comme on nous demande de trouver la réponse au centième près, nous allons utiliser nos calculatrices pour trouver la valeur décimale équivalente. Nous avons donc 1,0690 ainsi de suite. Après avoir arrondi au centième près, la distance entre les deux plans donnés est de 1,07 unité de longueur.

Notez que, dans cet exemple, on a trouvé un point sur le premier plan donné et on a calculé la distance entre ce point et le deuxième plan. Nous aurions cependant pu le faire dans l'autre sens. En effet, on aurait pu trouver un point sur le deuxième plan et calculer la distance entre ce point et le premier plan. Dans les deux cas, nous aurions obtenu la même distance perpendiculaire égale à 1,07 unité de longueur donnée au centième près.

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