Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Détermination de la distance perpendiculaire entre deux vecteurs force formant un couple Mathématiques

Étant données deux forces 𝐹₁ = −𝑖 + 2𝑗 et 𝐹₂ qui agissent en deux points 𝐴(2, 2) et 𝐵(-2, -2) pour former un couple, déterminez la distance perpendiculaire entre les deux forces.

05:36

Transcription de vidéo

Étant donné que deux forces 𝐹 un qui est égale à moins 𝑖 plus deux 𝑗 et 𝐹 deux agissent aux points 𝐴 : deux, deux et 𝐵 : moins deux, moins deux, respectivement, pour former un couple, trouvez la distance perpendiculaire entre les deux forces.

On nous a donné la première force, 𝐹 un et ses composantes. Et aussi une deuxième force, 𝐹 deux, qui forme un couple avec 𝐹 indice un. On nous dit aussi les points sur un plan de coordonnées 𝑥𝑦, où les deux forces agissent. 𝐹 un agit au point 𝐴. Et 𝐹 deux agit au point 𝐵. On veut calculer la distance perpendiculaire entre ces deux forces, 𝐹 un et 𝐹 deux. On va appeler cette distance 𝑑. Pour commencer la solution, rappelons la définition d’un couple de forces.

Un couple est défini comme une paire de forces parallèles de même intensité et direction, mais de sens opposés qui ne se trouvent pas dans la même ligne d’action. La description de 𝐹 un et 𝐹 deux correspond à cette définition d’un couple de forces. Si l’on représente graphiquement ces deux forces sur un plan de coordonnées 𝑥𝑦, on voit que 𝐹 un agit au point 𝐴 et 𝐹 deux agit au point 𝐵. Avec les composantes de 𝐹 un, on peut la représenter sur notre graphique. Même si l’on ne nous a pas donné les composantes de 𝐹 deux, vu qu’elle forme un couple avec 𝐹 indice un, on peut facilement déduire ses coordonnées et les tracer sur notre graphique.

Dans cet exercice, on veut calculer la distance perpendiculaire 𝑑 qui sépare ces deux lignes d’action. Si l’on prolonge les droites selon lesquelles 𝐹 un et 𝐹 deux agissent, alors, à partir de l’origine, on trace la droite 𝑑 qui est perpendiculaire aux deux lignes d’action des forces.

À ce stade, on veut écrire l’équation de la droite qui représente la ligne d’action de la force 𝐹 un. Si l’on appelle l’équation de cette droite, 𝑦 indice 𝐹 un, on sait que sa forme générale est 𝑚 fois 𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente de la droite et 𝑏 est son ordonnée à l’origine. En regardant à nouveau notre schéma, on voit quelle est la pente de cette droite. La variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥, pour la droite le long de laquelle se trouve 𝐹 un, est égale à deux divisé par moins un ou moins deux. Ainsi, la pente de notre droite, 𝑦 indice 𝐹 un, est égale à moins deux.

Encore une fois, en regardant notre schéma, l’on peut extrapoler la droite le long de laquelle 𝐹 un se trouve pour voir où elle intercepte l’axe des 𝑦. Puisque cette droite croise l’axe 𝑥 en 𝑥 égale à trois, cela signifie que, en déplaçant les trois unités vers la gauche, il faut trois unités pour atteindre 𝑥 égal à zéro, et sa variation verticale sur cette distance est de six unités. En d’autres termes, elle croise l’axe 𝑦 à 𝑦 égal à plus six.

Ensuite, l’on fait pareil pour la ligne 𝑑. C’est-à-dire que l’on va écrire l’équation de cette droite sous la forme 𝑚𝑥 plus 𝑏. En regardant la pente de 𝑦 indice 𝑑, on doit rappeler que vu que cette droite est perpendiculaire à la droite au long de 𝐹 indice un, sa pente sera l’inverse négatif de la pente de la droite 𝑦 indice 𝐹 un. C’est-à-dire l’inverse négatif de moins deux. Cela équivaut à plus un demi.

En regardant en arrière notre schéma, l’on voit que l’on a tracé la ligne 𝑑 d’une telle manière qu’elle passe par l’origine. En d’autres termes, elle croise l’axe 𝑦 à 𝑦 égal à zéro. On a maintenant des équations, à la fois pour la droite le long de laquelle se trouve 𝐹 un et pour la droite perpendiculaire à celle-ci, qui passe par l’origine. La prochaine chose que l’on doit calculer est le point où ces deux droites se croisent.

Pour calculer les coordonnées de ce point, on va égaler ces deux équations pour les droites. La raison est qu’au point d’intersection, elles coïncident. Si 𝑦 indice 𝐹 un est égal à 𝑦 indice 𝑑, cela signifie que moins deux 𝑥 plus six égale un demi 𝑥. En réarrangeant cette équation, on obtient que 𝑥 est égal à 12 cinquièmes lorsque ces deux droites se croisent. Donc, l’on peut écrire la coordonnée 𝑥 de ce point et on est prêt à calculer la coordonnée 𝑦. Lorsque 𝑥 est égal à 12 cinquièmes, notre équation pour 𝑦 indice 𝑑 nous dit que 𝑦 est la moitié de cela, ou six divisé par cinq.

Bravo, l’on est sur le bon chemin. On a le point auquel 𝑦 indice 𝐹 un et 𝑦 indice 𝑑 se croisent. Et on a aussi un autre point sur la droite 𝑑, qui est l’origine. On peut voir que si l’on calcule la distance entre ces deux points, cela est la moitié de la distance totale 𝑑. Vu que l’on doit calculer 𝑑, rappelons-nous que la distance entre deux points du plan 𝑥𝑦, disons 𝐷 majuscule, est égale à la racine carrée de la variation de 𝑥 au carré plus la variation de 𝑦 au carré. Donc, dans notre cas, 𝑑 sur deux est égal à la racine carrée de 12 sur cinq moins zéro, c’est la variation de 𝑥 au carré, plus six sur cinq moins zéro, la variation de 𝑦 au carré. Et en supprimant les zéros, on obtient cette forme simplifiée pour l’équation.

Si l’on multiplie les deux côtés de notre équation par deux, puis on factorise un sur cinq au carré en dehors du signe racine carrée, l’on voit que 𝑑 est égal à deux divisé par cinq fois la racine carrée de 12 au carré plus six au carré. 12 au carré plus six au carré est 180, qui peut également s’écrire comme 36 fois cinq, ou six fois six fois cinq. En factorisant le chiffre six en dehors du signe de la racine carrée, on obtient que 𝑑 est égal à 12 divisé par cinq fois la racine carrée de cinq unités de longueur. C’est la distance perpendiculaire entre les lignes d’action de ces deux forces.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.