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Vidéo de question : Déterminer la masse volumique d’un fluide dans un manomètre à colonne de liquide Physique

Le schéma illustre un manomètre à colonne de liquide relié à une extrémité à un réservoir de gaz et à l’autre extrémité à l’atmosphère. La pression du réservoir de gaz 𝑃_(gaz) = 112,5 kPa, et la pression atmosphérique 𝑃_(atm) = 101,3 kPa. Le tube en forme de U contient une huile. Selon la verticale, le sommet de la colonne d’huile en contact avec l’atmosphère est au-dessus du sommet de la colonne d’huile en contact avec le réservoir de gaz. La distance verticale entre les sommets de colonnes ℎ = 95,15 cm. Quelle est la masse volumique de l’huile ?

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Transcription de vidéo

Le schéma illustre un manomètre à colonne de liquide relié à une extrémité à un réservoir de gaz et à l’autre extrémité à l’atmosphère. La pression du réservoir de gaz 𝑃 indice gaz est égale à 112,5 kilopascals, et la pression atmosphérique 𝑃 indice atm est égale à 101,3 kilopascals. Le tube en forme de U contient une huile. Selon la verticale, le sommet de la colonne d’huile en contact avec l’atmosphère est au-dessus du sommet de la colonne d’huile en contact avec le réservoir de gaz. La distance verticale entre les sommets des colonnes ℎ est de 95,15 centimètres. Quelle est la masse volumique de l’huile ?

Notre schéma nous montre un manomètre avec un tube en forme de U qui est ouvert à une extrémité à l’atmosphère et à l’autre extrémité est relié à un réservoir de gaz. Une huile se trouve à l’intérieur du tube. Et la hauteur de la colonne d’huile du côté gauche du tube est supérieure à la hauteur de la colonne d’huile du côté droit d’une distance ℎ. Connaissant à la fois la pression du gaz et du réservoir et la pression de l’atmosphère, nous voulons déterminer la masse volumique de cette huile.

Notons les informations qui nous sont données sur la pression atmosphérique et la pression du gaz ainsi que la différence de hauteur entre les colonnes d’huile de chaque côté du tube en forme de U, libérons un peu d’espace à l’écran et commençons par réfléchir à ce que signifie le fait que la hauteur de la colonne d’huile d’un côté de ce tube est différente de la hauteur de l’autre côté.

La première chose que nous pouvons noter est que la pression le long de cette ligne pointillée rose en tout point à l’intérieur du tube est la même. En d’autres mots, la pression ici dans le tube est la même que la pression ici. Puisque notre système est en équilibre, cela signifie que la pression en un point donné est la même dans toutes les directions. Par conséquent, la pression totale agissant vers le bas sur le côté droit de notre tube le long de cette ligne rose est la même que la pression totale agissant vers le bas sur le côté gauche du tube le long de cette ligne.

Du côté droit, cette pression vers le bas est entièrement due à la pression du gaz et du réservoir. À gauche, cette pression vers la bas est due à la pression atmosphérique ajoutée à la pression créée par cette hauteur d’huile dans la colonne. Autrement dit, cette quantité d’huile, car elle a un certain poids, crée une pression en bas de la colonne de hauteur ℎ.

En général, la pression créée par un fluide de masse volumique 𝜌 situé dans une colonne de hauteur ℎ est égale à 𝜌 fois l’accélération due à la gravité 𝑔 fois ℎ. On peut alors écrire que la pression due à une hauteur ℎ d’huile dans notre colonne est égale à la masse volumique de l’huile fois 𝑔 fois ℎ.

Rappelons maintenant comment cette pression de l’huile est liée à d’autres pressions du manomètre. Nous avons dit que la pression totale vers le bas en ce point est la même que celle en ce point. Mathématiquement, cela signifie que la pression due à l’atmosphère ajoutée à la pression due à l’huile d’une colonne de hauteur ℎ est égale à la pression du gaz dans le réservoir. Nous savons que cela est vrai parce que notre système est en équilibre ; la colonne d’huile ne se déplace ni vers le haut dans ce sens ni vers le haut dans ce sens.

Nous pouvons réécrire cette équation en utilisant notre expression pour la pression créée par la colonne d’huile. Nous rappelons que c’est la masse volumique de l’huile 𝜌 indice huile que nous voulons calculer. Nous pouvons commencer à le faire en soustrayant la pression atmosphérique des deux côtés. Puisqu’à gauche, nous ajoutons et soustrayons cette pression, ces deux termes s’annulent. Dans une prochaine étape, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 𝑔 fois ℎ. En faisant cela, 𝑔 et ℎ s’annulent à gauche.

Nous arrivons à cette expression simplifiée pour la masse volumique de notre huile. Lorsque nous arriverons à notre réponse finale, nous voudrons que notre masse volumique d’huile soit exprimée en kilogrammes par mètre cube. En calculant 𝜌 indice huile, nous allons nous assurer que nous obtenons bien ces unités. Notez qu’au numérateur, nous avons deux pressions, qui sont toutes deux exprimées en kilopascals. Un kilopascal équivaut à 1000 pascals. Et par conséquent, pour convertir ces pressions en pascals, nous pouvons multiplier chacune par 1000. 𝑃 indice atm, 101,3 kilopascals multiplié par 1000 font 101 300 pascals. De même, lorsque nous multiplions 𝑃 indice gaz par 1000, nous obtenons 112 500 pascals.

Un pascal, rappelons-le, est égal à un newton sur un mètre carré. De plus, un newton est égal à un kilogramme mètre par seconde carrée. Si nous combinons ces deux conversions, alors nous pouvons écrire qu’un pascal est égal à un kilogramme mètre par seconde carrée, c’est un newton, divisé par des mètres carrés. Si nous multiplions alors le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un sur mètres carrés, alors au dénominateur, l’unité mètres carrés s’annule. Au numérateur, un facteur de mètres s’annule en haut et en bas. Nous pouvons donc écrire les pascals simplement comme des kilogrammes par mètre seconde carrée.

Après avoir considéré ces unités, insérons les valeurs connues pour 𝑃 indice gaz et 𝑃 indice atm en pascals, que nous avons convertis en kilogrammes par mètre seconde carrée. Cela nous donne 112 500 kilogrammes par mètre seconde carrée moins 101 300 kilogrammes par mètre seconde carrée. Si nous retirons les unités de ces deux termes, nous obtenons ce résultat. Et si nous soustrayons 101 300 de 112 500, cela équivaut à 11 200. C’est alors la différence de pression entre la pression du gaz et la pression de l’atmosphère. Tout cela est divisé par 𝑔, qui est de 9,8 mètres par seconde carrée, fois ℎ, qui est de 95,15 centimètres.

Avant de remplacer ℎ par cette valeur, rappelons cependant que 100 centimètres font un mètre. Et par conséquent, nous pouvons convertir notre hauteur ℎ en mètres en déplaçant la virgule de deux rangs vers la gauche. Cela équivaut à diviser par 100. Notre hauteur ℎ est alors de 0,9515 mètre. Et notez que maintenant au dénominateur, nous avons des mètres fois des mètres, soit des mètres carrés, le tout divisé par des secondes carrée. En factorisant ces unités, au dénominateur, nous avons 9,8 fois 0,9515 mètre carré par seconde carrée.

Notez alors qu’un sur des secondes carrées apparaît à la fois au dénominateur et au numérateur de cette fraction. Par conséquent, ces unités s’annulent. Nous avons alors les unités globales de kilogrammes par mètre divisées par mètres carrés. Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur par un sur des mètres carrés, alors les unités du dénominateur s’annulent complètement. Et au numérateur, des mètres fois des mètres carrés font des mètres cubes.

Nous avons alors confirmé que les unités que nous calculons sont des kilogrammes par mètre cube, les unités de masse volumique que nous voulions. Lorsque nous calculons cette fraction, nous obtenons un résultat de 1201 kilogrammes par mètre cube. Ici, nous avons gardé quatre chiffres significatifs pour être cohérents avec la précision des informations qui nous sont données dans ce problème. La masse volumique de l’huile dans le manomètre est de 1201 kilogrammes par mètre cube.

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